Überprüfung Aufgabe Glücksrad 13. Klasse Abiturvorbereitung Stochastik

Question

Aufgabe:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit die Zahl 5 zu drehen 30%, die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu drehen 10%. Die Zahlen 2-4 werden mit derselben Wahrscheinlichkeit gedreht.

a) Das Glücksrad wird fünfmal gedreht.

Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, genau einmal eine 5 zu erhalten und die Wahrscheinlichkeit dafür, nur beim fünften Mal eine 5 zu erhalten.

b)Die Zufallsgröße X gibt die Augensumme beim zweimaligen drehen des Rades an. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Standardabweichung und den Erwartungswert von x. Vergleiche diese Größen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung, der Standardabweichung und dem Erwartungswert beim einmaligen Drehen des Glücksrades.

c) Man erhält einen Hauptgewinn, wenn die Augensumme mindestens 9 beträgt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt der Hauptgewinn von einer doppelfünf, also der Augensumme 10?

d) Man vermutet, dass das Glücksrad seltener auf der 5 landet als angegeben. Diese Vermutung soll durch 100 maliges Drehen überprüft werden. Beschrieben sie einen Hypothesentest zum Signifikanzniveau 5% und beschreiben und berechnen sie den Fehler erster und zweiter Art.

e) Frank und Ciara spielen ein Spiel. Sie drehen abwechselnd das Glücksrad, Frank beginnt. es gewinnt, wer zuerst eine fünf dreht. Stellen sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Frank und Ciara als unendliche Reihe dar, und berechnen sie die Gewinnchance von Frank.
Problem/Ansatz:

Ich würde gerne wissen, ob ich die Aufgaben korrekt gelöst und das Thema verstanden habe :).

a)  P('genau eine 5') = P(X=5) =B(5;0,3,1) = 0.36 =36%

P(' 5 beim fünften Mal') = 0.7^4*0.3 = 0,07203.

b) 1Mal drehen:

X	1	2	3	4	5
P(x=xi)	0,1	0,2	0,2	0,2	0,3

Sigma = 1,36;  Erwartungswert: 3,4

2Mal drehen:

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(x=xi)	0	0,01	0,04	0,08	0,12	0,18	0,2	0,16	0,12	0,09

Sigma: 1,96, Erwartungswert: 6,8

c) P(X=10) =0,09 = 9%, siehe Tabelle afg.b

d) Es ist ein statistischer Alternativtest durchzuführen. Es wird 100 mal gedreht und das Ergebnis notiert. Anschließend kann mit einer Tabelle zur Binomialverteilung die kritische Zahl k ermittelt werden.

n=100

H0: Das Glücksrad landet mit 30% auf der 5. → P=0,3

H1: Das Glücksrad landet seltener auf der 5 als angegeben. → p<0,3

P(H0) Unter der Beding H1 <=0,05 → K=22 aus Tabelle der Binomialverteilung abgelesen

K<22: H= wird abgelehnt

K>22: H0 wird angenommen

alpha Fehler / Fehler erster Art:

Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.

P(H0) unter der Bedingung H1 = P(X<=22) = F(100; 0,3,22) = 4,78%

Beta Fehler ( fehler 2.Art)

H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist.

falls p=0,2: 1-P(X<=22) = 1-F(100, 02,22) = 1-0,73= 26,1%

fall p=0,1: !-P/X<=22) =1-F(100, 0,2, 22) =1-0,99 = 0,011%

e) hier bin ich mir am wenigsten sicher:

Frank gewinnt: ∑ 0,3 * 1/ (1-0,7)^2 = 0,3/0,51= =,5882 =58,82%

Clara gewinnt:∑ 0,21*1/(1-0,7)^2

Answer 1

a)  P('genau eine 5') = P(X=5) =B(5;0,3,1) = 0.36 =36%

\(P(X=1)\) wenn \(X\) die Anzahl der Fünfen ist. Ist nur Notation, Ergebnis stimmt.

b) Sigma: 1,96

Da hab ich jetzt \(\sigma\approx 1,92\).

c) ist für mich eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Es geht also um die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptgewinn durch eine Doppel-Fünf erzielt wurde unter der Bedingung, dass man einen Hauptgewinn bekommt, also

\(\frac{P(X=10)}{P(X\geq 9)}\) (\(X\) Augensumme).

Andernfalls wäre die Aufgabe redundant, da man bereits in der Aufgabe davor sämtliche Wahrscheinlichkeiten bestimmt.

d) Es ist ein statistischer Alternativtest durchzuführen.

Nein, da du keine konkrete Alternative hast. Man spricht hier von einem einseitigen Signifikanztest. Das geht auch aus deinen Hypothesen hervor.

K<22: H= wird abgelehnt

K>22: H0 wird angenommen

Und wozu gehört \(k=22\)? Werte stimmen soweit. Den Fehler 2. Art kannst du ohne konkretes \(p\) gar nicht berechnen. Daher ist es gut, dass du einfach zwei Werte genommen hast, die kleiner sind.

Frank gewinnt: ∑ 0,3 * 1/ (1-0,7)2 = 0,3/0,51= =,5882 =58,82%

Das Endergebnis sieht gut aus, aber das was in der Summe steht, passt nicht so ganz. Wie ist deine Herleitung dazu. Die Wahrscheinlichkeit für Ciara ist dann einfach die Gegenwahrscheinlichkeit.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

zu Aufgabe c) Vielen Dank für den Hinweis! ich bin gar nicht auf die Idee gekommen, dass es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, und habe mich schon gewundert, warum die Aufgabe redundant ist. :)

zu Aufgabe d: K soll die kritische Zahl, ab welcher H0 angenommen bzw. verworfen wird.

zu Aufgabe e: Ich dachte, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt, und ich die Wahrscheinlichkeit für die fünf als Anfangswert nehmen kann, und dann 1/ 1- die Wahrscheinlichkeit, dass Ciara gewinnt davon abziehen kann, da unser Lehrer uns den Hinweis gab, dass wir eine Reihe mit 1/? bilden sollen.

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Bei c) ist das jetzt auch nur eine Vermutung von mir. Denn nochmal dieselbe Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ergibt nicht viel Sinn.

Bei d) ist mir schon bewusst, was \(K\) ist. Aber du hast nur \(K<22\) und \(K>22\). Wozu gehört \(K=22\)?

Bei e) funktioniert es über die geometrische Reihe, korrekt.