Aufgabe:
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
1) \(\int_{-1}^{1} \delta(x) \cdot [f(x) - f(0)] \, dx\)
2) \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{1 + x^2} \cdot \delta\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \, dx\)
3) \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(2x)(x^3 + 2x^2 - x) \, dx\)
Problem/Ansatz:
Wir haben gestern mit dem Thema Delta-Funktion angefangen in der Uni, aber der Prof hat es richtig scheiße erklärt und jetzt sollen wir Übungsaufgaben damit machen.
Da ich die Anwendung der delta-Funktion nicht verstanden habe, habe ich natürlich nach recherchiert.
Mir fällt es immer noch schwer zu verstehen wie/ wann man sie anwendet, denn ich komme die ganze Zeit durcheinander mit den Eigenschaften der delta-Funktionen.
Bei der ersten Aufgabe habe ich es so verstanden das man es so rechnen könnte:
Die Delta-Funktion hat ja nur an x=0 einen Wert..
\(I = \int_{-1}^{1} \delta(x) \cdot [f(x) - f(0)] \, dx\)
\(I = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \cdot [f(x) - f(0)] \, dx\)
Danach habe ich x=0 eingesetzt,
\(I = [f(0) - f(0)]\)
\(I = 0\) habe ich es soweit richtig verstanden?
Bei der zweiten Aufgabe war ich mir nicht sicher. Ich habe es erstmal so gerechnet:
Wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist doch Eigenschaft:
\(I = f\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
und \( f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + x^2} \).
Danach habe ich erstmal \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) berechnet
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{1 + \left(\frac{\pi}{2}\right)^2}\)
Der Wert von cos ist:
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
Dann habe ich es in \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) eingesetzt:
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{0}{1 + \left(\frac{\pi}{2}\right)^2} = 0\)
\(I = 0\)
Bei der dritten Aufgabe bin ich mir ebenfalls nicht sicher ob man es so rechnen kann:
Ich bin mir nicht sicher ob ich bei der delta-Funktionen machen darf, aber ich habe es erstmal umgeformt
\(\delta(2x) = \frac{1}{2} \delta(x)\)
Danach eingesetzt
\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(2x) (x^3 + 2x^2 - x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} \delta(x) (x^3 + 2x^2 - x) \, dx\)
\(= \frac{1}{2} (0^3 + 2 \cdot 0^2 - 0)\)
\(= \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\)
\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(2x) (x^3 + 2x^2 - x) \, dx = 0\)
Habe ich alles soweit richtig verstanden? Wenn nein, dann bitte verbessert mich und erklärt es mir bitte. Ich danke euch im voraus.
