Aufgabe:
Zeige, dass
$$\lim\limits_{x\to\infty} b_x=0 \text{ mit } b_x = \frac{x}{2^{x-1}}$$.
Indem Sie die Folgeglieder für hinreichend große Indizies n, druch $$\frac{1}{x}$$ abschätzen.
Nutze vollständige Induktion zur Herleitung Ihrer Abschätzung.
Problem/Ansatz:
$$x=2 \\ b_2=\frac{2}{2^{2-1}} = \frac{2}{2}=1\\ b_3=\frac{3}{2^{3-1}} = \frac{3}{4}\\ \\ c_x=\frac{1}{x}\\ c_2=\frac{1}{2}\\ c_3=\frac{1}{3}$$
derzeit ist $$c_x \leq b_x$$, jedoch sieht man, das $$2^{x-1}$$ viel schneller wachsen wird als $$x$$ und somit ab einem gewissen Wert $$c_x \geq b_x$$.
Dies will ich mit x+1 zeigen.
$$x=x+1\\ b_{x+1}=\frac{x+1}{2^{(x+1)-1}}\leq \frac{1}{x+1}=c_{x+1}\\ =\frac{x+1}{2^x} \leq \frac{1}{x+1} \quad| \cdot (x+1)\\ = \frac{(x+1)^2}{2^x} \leq 1 \quad |\cdot 2^x\\ = x^2+1 \leq 2^x$$
und hier komme ich nicht mehr weiter, jetzt könnte ich wieder sagen, das der rechte Term ab einem bestimmten x schneller wächst als der linke und somit die Ungleichung erfüllt ist, aber es fühlt sich nicht ausreichend aus.
