Wie kann ich die 1.Ableitung aus einem Grahpen lesen

Question

Aufgabe: Kreuze die zutreffenden Aussagen an

Problem/Ansatz: Wenn die Funktion als erste ableitung dargesellt ist woher weiß ich dann nur mit diesen Angaben was die ausgangsfunktion ist und umgekehrt.

Text erkannt:

ion \( f \).
geben.
\( 4^{y} \)

Text erkannt:

Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion \( f^{\prime} \) einer Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Die Funktion \( f \) ist vom Grad 5.
\( f \) hat an der Stelle 3 eine Wendestelle.
An der Stelle 0 hat \( f \) eine Sattelstelle.
\( f \) ist in \( (-\infty ; 3) \) streng monoton steigend.
\( f \) ist in \( (2 ; 5) \) rechtsgekrümmt.

Von einer Polynomfunktion \( f \) ist der Graph der Ableitu Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an!

Answer 1

f hat an der Stelle 3 eine Wendestelle.

An Wendestellen ist die Steigung extremal.

An der Stelle 0 hat f eine Sattelstelle.

An Sattelstellen ist die Steigung 0. Außerdem ist entweder die Steigung vorher und nachher positiv oder die Steigung vorher und nachher negativ.

f ist in (−∞;3) streng monoton steigend.

Dazu reicht es aus, dass die Steigung in diesem Intervall positiv ist. An einzerlnen Stellen darf die Steigung auch 0 sein.

\( f \) ist in \( (2 ; 5) \) rechtsgekrümmt.

Das ist dann der Fall, wenn die Steigung monoton fallend ist.

Answer 2

Die brauchst dafür keine Funktionsgleichung zu kennen, sondern nur den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Graph der Ableitung.

Der Graph einer Funktion \(f\) ist bspw. monoton steigend, wenn der Graph der Ableitung \(f'\) positiv ist, denn nur wenn die Steigung (das gibt die erste Ableitung ja an) positiv ist, wächst der Funktionsgraph von \(f\) an. Genauso funktioniert es für fallende Graphen. Dann ist die Ableitung negativ.

Weitere Eigenschaften:

Graph von \(f\)	Graph von \(f'\)
hat Extrempunkt	hat Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
hat Sattelpunkt	hat Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
hat Wendestelle	hat Extrempunkt
ist rechtsgekrümmt	fällt monoton

Die Zusammenhänge solltest du in deinen Unterlagen/Buch auch wiederfinden können. Es ist wichtig, sich das klarzumachen. Ich habe hier jetzt natürlich nicht alle Eigenschaften aufgelistet.

Übrigens: Wenn die Funktion den Grad \(n\) hat, so hat die Ableitung den Grad \(n-1\). Den (minimalen) Grad kann man graphisch anhand der maximal möglichen Schnittstellen mit einer Parallelen zur \(x\)-Achse ablesen. Wie viele solcher Schnittstellen kann der vorliegende Graph maximal haben? Das wäre dann der minimale Grad für die Ableitungsfunktion. Der Grad von \(f\) ist dann um eins größer.

Comments

Den (minimalen) Grad kann man graphisch anhand der maximal möglichen Schnittstellen mit einer Parallelen zur \(x\)-Achse ablesen.

Etwas schöner:

Den (minimalen) Grad kann man graphisch anhand der maximal möglichen Schnittstellen mit einer linearen Funktion ablesen.