Determinante einer Matrix berechnen

Question

Gibt es einen einfachen Weg die Determinante dieser Matrix zu berechnen?

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\ 2 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\ 3 & 3 & 3 & 4 & \cdots & n \\ 4 & 4 & 4 & 4 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & n & \cdots & n \\ \end{pmatrix} $$

Answer 1

Ziehe die zweite Zeile von der ersten Zeile ab und entwickel dann nach der ersten Zeile.

Dann ist die Determinante der Matrix M in Abhängigkeit von n:

DET(M) = (-1)^{n-1}·n

Comments

Dann ist die Determinante der Matrix M in Abhängigkeit von n:

Das ist dann aber noch lange nicht offensichtlich, denn die Untermatrix hat dann noch immer dieselbe Struktur wie die ursprüngliche Matrix.

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denn die Untermatrix hat dann noch immer dieselbe Struktur wie die ursprüngliche Matrix.

Dann ist dir der Fragesteller offensichtlich schon einen Schritt voraus, wenn er verstanden hat, dass wenn die Untermatrix dieselbe Struktur hat, dass man dann ja rekursiv davon die Determinante mit genau dem gleichen Verfahren berechnen kann.

Und ich denke, es ist sehr offensichtlich. Wenn nicht, sollte man es einfach mal für n = 4 probieren.

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Dann ist dir der Fragesteller offensichtlich schon einen Schritt voraus,

Und das erkennst du woran? ;)

Answer 2

Eine Möglichkeit ist: Subtrahiere jeweils die erste Zeile von den übrigen Zeilen (das ändert die Determinante nicht) und entwickle dann nach der letzten Spalte.

Gehe das Muster einmal für \(n=2\), \(n=3\), \(n=4\), ... durch. Dann solltest du schnell sehen, wie sich das verallgemeinern lässt.