Determinante einer Matrix (ohne Zahlen) bestimmen

Question

Hallo, ich soll folgende Aufgabe zu Determinanten lösen. Leider komme ich nicht weiter. Ich hoffe mir kann jemand helfen.

$$\text{Gegeben sei die Matrix A} \in M(4 \times 4 ; \mathbb{R}) \text{ mit } \operatorname{det}(A)=2 : \\ A=\left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array}\right) \\ \text{ Bestimmen Sie die Determinante der Matrix: } \left(\begin{array}{cccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 3 a_{11} & 3 a_{12} & 3 a_{13} & 3 a_{14} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ 3 a_{31}+a_{11} & 3 a_{32}+a_{12} & 3 a_{33}+a_{13} & 3 a_{34}+a_{14} \end{array}\right) $$

Wie bestimme ich am besten die Determinante der zweiten Matrix mithilfe der ersten? Könnte mir eventuell jemand dabei helfen bitte?

Answer 1

Aloha :)

Zu bestimmen ist:$$\phantom{=}\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 3 a_{11} & 3 a_{12} & 3 a_{13} & 3 a_{14} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ 3 a_{31}+a_{11} & 3 a_{32}+a_{12} & 3 a_{33}+a_{13} & 3 a_{34}+a_{14} \end{array}\right|$$Wir ziehen den Faktor \(3\) aus der zweiten Zeile:$$=3\cdot\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ 3 a_{31}+a_{11} & 3 a_{32}+a_{12} & 3 a_{33}+a_{13} & 3 a_{34}+a_{14} \end{array}\right|$$Wir subtrahieren die zweite Zeile von der letzten:$$=3\cdot\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ 3 a_{31} & 3 a_{32} & 3 a_{33} & 3 a_{34} \end{array}\right|$$Wir ziehen den Faktor \(3\) aus der letzten Zeile:$$=9\cdot\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}\right|$$Wir vertauschen die Zeilen 1 und 2, sowie die Zeilen 3 und 4. Bei jedem Tausch wechselt die Determinante ihr Vorzeichen. Da wir zwei Mal tauschen, bleibt das Vorzeichen ungeändert:$$=9\cdot\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}  \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array}\right|=9\cdot\operatorname{det}(A)=9\cdot2=18$$

Answer 2

Was musst du tun um die erste Matrix zur zweiten umzuformen.

Also welche Zeilen musst du vertauschen, welche Zeilen musst du multiplizieren und welche Zeile musst du zu einer anderen addieren.

Das wichtige wie verändert sich bei diesen Umformungen die Determinante jeweils.

Du solltest darauf kommen das die Determinante 2 zweimal im vorzeichen gewechselt wird und zweimal mit 3 multipliziert wird. Das macht nach meinen Berechnungen eine neue Determinante von 18.

Answer 3

Hallo

Ist

Falls B sich aus A ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist detB=-detA

Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist detB=detA

Falls B sich aus
A ergibt, indem man das c-Fache einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist detB=c*detA
damit kannst du leicht deine Det ermitteln.

Gruß lul