Infimum und Supremum bestimmen

Question

Aufgabe:

Infimum und Supremum einer Menge

Problem/Ansatz:

Sei $$ X:=\bigcup \{ [\frac{1}{n}, 1], n\in\mathbb{N_{n\geq 2}}\}$$

Ich habe eine Frage zur obigen Aufgabe. Für mich ist es offensichtlich, dass das Infimum 0 und das Supremum 1 ist. Man muss ja theoretisch nur eine Skizze zeichnen und dann sieht man es. Eine Zeichnung sagt ja aber noch gar nichts. Wie würdet ihr begründen, dass das Infimum 0 und das Supremum 1 ist?

Answer 1

Ich finde die Darstellung der Menge etwas merkwürdig, denn es handelt sich hier um eine Menge, die einfach nur Intervalle enthält.

Falls \(X=\bigcup_{n\geq 2} [\frac{1}{n}; 1]\) gemeint ist, sind Supremum und Infimum ja auch offensichtlich, denn Grenzwertbetrachtung liefert \(X=(0;1]\).

Comments

Wenn man diesen Weg gehen möchte, muss man wohl mit dem Archimedischen Axiom argumentieren, um \(X=(0;1]\) zu zeigen. Dann muss man wohl die Definition des Infimums anwenden und einen Widerspruchsbeweis führen, um zu zeigen, dass 0 das Infimum von \((0;1]\) ist. Dieser Weg ist also nur scheinbar kürzer als der von mir beschrittene direkte Weg. Es sei denn natürlich, man kann auf Wissen aus der Vorlesung zurückgreifen. Für das Verständnis ist \(X=(0;1]\) natürlich auf alle Fälle hilfreich.

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Da natürlich nur selten bekannt ist, was benutzt werden darf und was nicht, war das auch nur eine grobe Überlegung und kein im Detail notierter Beweis. Da muss dann entsprechend der FS weiter nachhaken.

Answer 2

Hallo Lehrer074,

ich würde direkt mit der Definition von Infimum und Supremum arbeiten.

Um etwa nachzuweisen, dass \(0\) ein (und somit das) Infimum (also eine/die größte untere Schranke) von \(X\) ist, müssen wir also zeigen:

1. \(0\) ist eine untere Schranke von \(X\).

2. Für jede untere Schranke \(s\) von \(X\) gilt \(0\ge s\).

Für 1. gilt es nun, die Definition einer unteren Schranke anzuwenden.

Für 2.würde ich gegeben eine untere Schranke \(s\) von \(X\) mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten:

Angenommen \(s>0\).Dann existiert nach dem Archimedischen Axiom angewandt auf \(\frac{1}{s}\) ein \(m\in\mathbb{N}\) mit \(m>\frac{1}{s}>0\). Sei nun \(n\) das Maximum von \(m\) und \(2\) (also insbesondere \(n\ge m\) und \(n\ge 2\)) und \(x:=\frac{1}{n}\), insbesondere \(x\in X\) wegen \(x\in[\frac{1}{n},1]\) und \(n\ge 2\). Wegen \(x=\frac{1}{n}\le\frac{1}{m}<s\) widerspricht dies der Eigenschaft von \(s\), untere Schranke von \(X\) zu sein.

Dieser Beweis zeigt aus meiner Sicht sehr schön, dass auch scheinbar triviale Aussagen formal aufwändig zu beweisen sein können.

Viele Grüße, Tobias

Comments

Mensch jetzt habe ich schon die Antwort von Apfelmännchen als beste Antwort markiert, weil ich dachte, dass nichts mehr kommt :') Dieser Beweis ist wirklich sehr sauber und chick aufgeschrieben. Ich danke dir !!!