Aloha :)
Der Nabla-Operator braucht etwas, auf das er einwirken kann.
Nach dem Nabla-Kalkül kannst du die Produktregel anwenden und die Vektoren markieren, auf die der Nabla-Operator wirken soll. Diese sind im Folgenden pink markiert:$$\vec\nabla\cdot(\pink{\vec a\times\vec r})=\vec\nabla\cdot(\pink{\vec a}\times\vec r)+\vec\nabla\cdot(a\times\pink{\vec r})$$
Nun musst du die Terme gemäß den Regeln der Vektorrechnung so umstellen, dass der Nabla-Operator direkt vor dem "Objekt" steht, auf das er wirkeln soll. Bei einem Spatprodukt können wir die Vektoren zyklisch rotieren, ohne dass sich sein Wert ändert.$$\vec\nabla\cdot(\pink{\vec a\times\vec r})=\vec r\cdot(\vec\nabla\times\pink{\vec a})+\vec a\cdot(\pink{\vec r}\times\vec\nabla)$$
In der letzten Klammer nutzen wir aus, dass das Vektorprodukt anti-kommutativ ist:$$\vec\nabla\cdot(\pink{\vec a\times\vec r})=\vec r\cdot(\vec\nabla\times\pink{\vec a})-\vec a\cdot(\vec\nabla\times\pink{\vec r})$$
Da \(\vec a\) konstant ist, gilt also:$$\operatorname{div}(\vec a\times\vec r)=-\vec a\cdot\operatorname{rot}(\vec r)$$
