Zeigen Sie, dass die Quelle nach diesem Modell unaufhörlich Wasser spendet.

Question

Aufgabe:

Die Schüttung einer Quelle wird für t ≥ 0 beschrieben durch die Funktion S mit S (t) = 50/(t+ 1) hoch drei (t in Tagen, S (t) in Kubikmeter/Tag)

a) Zeigen Sie, dass die Quelle nach diesem Modell unaufhörlich Wasser spendet.
b) Wann ist die Schüttung der Quelle geringer als Tag 1l/Tag
c) Wie viel Wasser spendet die Quelle langfristig insgesamt?

Problem/Ansatz:

a) Ich hatte an eine Grenzwertbestimmung gedacht, aber die Funktion läuft ja für t gegen unendlich gegen 0… Dann wäre sie ja endlich…

Bei B) und c) fehlt mir leider der Ansatz… Könnte mir da jemand einen Denkanstoß geben? Vielen Dank! :))

Answer 1

Dann wäre sie ja endlich…

t = unendlich für S(t) = 0 ist nicht wirklich endlich.

b)

S(t) = 1/1000

c)

integriere S(t) dt, ich komme auf 25 m³

Comments

Könnten Sie mir nochmal erklären, was sie mit dem Tipp zur Aufgabe a) genau meinen?

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Die Quelle wird nur 25 m³ spenden aber braucht unendlich viel Zeit bis sie damit fertig ist.

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aber braucht unendlich viel Zeit bis sie damit fertig ist.

... weil sie nie damit fertig ist.

Answer 2

a) S(t) > 0 ⇔ 50/(t+1)³ > 0 ⇔ 1/(t+1)³ > 0 ⇔ (t+1)³ > 0 ⇔ t > -1

b) Löse die Ungleichung S(t) < 1/1000.

c) Berechne ∫₀^∞S(t)dt.

Comments

Sollte es (t+1)³ statt (t-1)³ heißen?

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Ja, hast recht.

Answer 3

a) Zeigen Sie, dass die Quelle nach diesem Modell unaufhörlich Wasser spendet.

S(t) = 50 / (t + 1)^3 = 0

S(t) hat keine Nullstelle, weil der Zähler nicht Null wird.

b) Wann ist die Schüttung der Quelle geringer als Tag 1l/Tag

1 l = 1/1000 m³

S(t) = 50 / (t + 1) < 1/1000 --> t > 10·50^(1/3) - 1 ≈ 35.84 Tage

c) Wie viel Wasser spendet die Quelle langfristig insgesamt?

F(t) ist Stammfunktion zu S(t) mit F(0) = 0

F(t) = 25 - 25/(t + 1)^2

lim (t --> ∞) F(t) = 25 m³