was bedeutet dass x≥x0 in diesem Zusammenhang

Question

warum wird so die Existenz des Integrals überprüft?

$$ J(\vartheta):=\int \limits_{0}^{\infty} e^{\vartheta x}\left(1-{G_{\alpha, \beta}(x)}\right) \mathrm{d} x=\int \limits_{0}^{\infty} e^{\vartheta x} e^{-\beta x^{\alpha}} \mathrm{d} x $$
Das Integral \( J(\vartheta) \) existiert, denn wegen \( \beta x^{\alpha-1}-\vartheta \stackrel{x \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty \) gibt es ein \( x_{0} \in \mathbb{R} \) mit \( \beta x^{\alpha-1}-\vartheta \geq 1 \) für
alle \( x \geq x_{0} \)

Ich denke, dass hier einfach die Exponenten ausgeklammert wurden, aber warum wurde nur ein Teil betrachtet? Weiter zusammengefasst würde man doch auf diese Darstellung kommen:

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x(ß^{\lambda-1}x-v)}$$

Dass ist aber nicht mein eigentliches Probelm, den mit der betrachtung von $$-x(ß^{\lambda-1}x-v)$$ würde man ja immer noch darauf kommen, dass das uneigentliche Integral existiert, aber was bedeutet dass x≥x₀ in diesem Zusammenhang?
VG

Answer 1

Hallo,

um zu zeigen, dass eine uneigentliches Integral \(\int_0^{\infty} f(x)dx\) mit stetigem \(f\) existiert, braucht man nur zeigen, dass für ein geeignetes \(q>0\) (ich schreibe mal q statt \(x_0\))  \(\int_q^{\infty} f(x)dx\).

Bei Deinem Beispiel ist

$$f(x)=\exp[-x(\beta x^{\alpha -1}-\theta)]$$

Jetzt wählen wir ein \(q>0\) mit der Eigenschaft: \((\beta x^{\alpha -1}-\theta) \geq 1\) für \(x \geq q\). Dann können wir abschätzen:

$$\forall x \geq q: \quad |f(x)| \leq \exp(-x)$$

Letztere ist also eine konvergente Majorante für den Integranden auf dem Intervall \([q, \infty)\).

Damit ist die Existenz des uneigentlichen Integrals durch eine (relativ) konkrete Abschätzung gezeigt. Man kann natürlich auch sagen, dass man mit etwas Erfahrung das auf den ersten Blick "sieht".

Gruß

Comments

Hallo, vielen Dank, dass hat sehr geholfen:)