Was bedeutet dI/da in diesem Fall genau?

Question

Sei a eine positive ganze Zahl und sei

I(a) = ∫₀^a (4 - 2^{x^2}) dx

dann ist dI / da = 0 , wenn a gleich

A) (1+√5) / 2

B) √2

C) (√5 - 1) / 2 oder 

D) 1 ist.

Hat jemand eine Erklärung dafür? Ich weiß, dass dI / da etwas mit delta zu tun hat, aber ich sehe den Zusammenhang nicht.

Answer 1

\( \frac { d l } { d a } \) sprich "dl nach da" (übrigens eigentlich nicht mit kursiven d's, das funktioniert mit dem Formeleditor aber nicht) ist die sogenannte Leibniznotation der Ableitung von l(a) nach a, bedeutet also nichts anderes als l'(a).

Eine Möglichkeit die Ableitung in diesem Fall auszurechnen, ist das Integral auszurechnen und dann nach a abzuleiten: allerdings wird das ein bisschen schwierig, da die Funktion im Integranden keine elementare Stammfunktion besitzt, die Stammfunktion ist also eine Funktion, die sich nicht einfach durch eine Rechenvorschrift aufschreiben lässt.

Es gibt sie aber trotzdem. Nennen wir mal den Integranden f(x) = 4-2^x², dann existiert eine Stammfunktion F(x) mit der Eigenschaft F'(x) = f(x).

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt für das bestimmte Integral mit den Grenzen 0 und a:
∫₀^a f(x) dx = F(a) - F(0)

Also gilt:

l(a) = F(a) - F(0)
wenn man jetzt nach a ableitet, fällt F(0) weg, da es einfach nur eine konstante Zahl ist! Übrig bleibt F'(a) = f(a).

Also setzt man a in die Ausgangsfunktion ein und erhält:

l'(a) = 4 - 2^a²

Nun soll l'(a) = 0 gelten:

0 = 4 - 2^a² | + 2^a²

2^a² = 4 | log₂(...)

a² = 2 | √(...)

a = √2

Richtig wäre demnach Lösung (B).
Allerdings ist das keine positive ganze Zahl... bist du sicher, dass das in der Aufgabe gefordert ist?