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Aufgabe:

Die Schüttung einer Quelle wird für t ≥ 0 beschrieben durch die Funktion S mit S (t) = 50/(t+ 1) hoch drei (t in Tagen, S (t) in Kubikmeter/Tag)

a) Zeigen Sie, dass die Quelle nach diesem Modell unaufhörlich Wasser spendet.
b) Wann ist die Schüttung der Quelle geringer als Tag 1l/Tag
c) Wie viel Wasser spendet die Quelle langfristig insgesamt?


Problem/Ansatz:

a) Ich hatte an eine Grenzwertbestimmung gedacht, aber die Funktion läuft ja für t gegen unendlich gegen 0… Dann wäre sie ja endlich…

Bei B) und c) fehlt mir leider der Ansatz… Könnte mir da jemand einen Denkanstoß geben? Vielen Dank! :))

Avatar vor von

3 Antworten

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Dann wäre sie ja endlich…

t = unendlich für S(t) = 0 ist nicht wirklich endlich.

b)

S(t) = 1/1000

c)

integriere S(t) dt, ich komme auf 25 m3

Avatar vor von 45 k

Könnten Sie mir nochmal erklären, was sie mit dem Tipp zur Aufgabe a) genau meinen?

Die Quelle wird nur 25 m3 spenden aber braucht unendlich viel Zeit bis sie damit fertig ist.

aber braucht unendlich viel Zeit bis sie damit fertig ist.


... weil sie nie damit fertig ist.

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a) S(t) > 0 ⇔ 50/(t+1)³ > 0 ⇔ 1/(t+1)³ > 0 ⇔ (t+1)³ > 0 ⇔ t > -1

b) Löse die Ungleichung S(t) < 1/1000.

c) Berechne ∫0S(t)dt.

Avatar vor von 107 k 🚀

Sollte es (t+1)3 statt (t-1)3 heißen?

Ja, hast recht.

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a) Zeigen Sie, dass die Quelle nach diesem Modell unaufhörlich Wasser spendet.

S(t) = 50 / (t + 1)^3 = 0

S(t) hat keine Nullstelle, weil der Zähler nicht Null wird.

b) Wann ist die Schüttung der Quelle geringer als Tag 1l/Tag

1 l = 1/1000 m³

S(t) = 50 / (t + 1) < 1/1000 --> t > 10·50^(1/3) - 1 ≈ 35.84 Tage

c) Wie viel Wasser spendet die Quelle langfristig insgesamt?

F(t) ist Stammfunktion zu S(t) mit F(0) = 0

F(t) = 25 - 25/(t + 1)^2

lim (t --> ∞) F(t) = 25 m³

Avatar vor von 487 k 🚀

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