Wann nutzt man den Existenzquantor in der Prädikatenlogik?

Question

Aufgabe:

Meine grundsätzliche Problematik besteht darin zu erkennen, ob wann man den Existenzquantor benötigt.

Könnte jemand mir anhand eines einfaches Beispiel eindeutig erklären, womit ich dann genau was weiß wann ich es benötige?

Hier sind auch weiter Aufgaben:

Finden Sie geeignete Prädikate, um folgendes in der Prädikatenlogik auszudrücken:
(a) Alle roten Dinge sind in der Schachtel.
(b) Nur rote Dinge sind in der Schachtel.
(c) Kein Tier ist zugleich eine Katze und ein Hund.
(d) Jeder Preis wurde von (irgend)einem Spieler gewonnen.
(e) Ein Spieler hat jeden Preis gewonnen.
(f) Keines der roten Dinge ist blau.

Über eine Rückmeldung ich mich sehr freuen.

Ansatz:

Der Existenzquantor wird bei mindestens verwendet, aber irgendwie ist es mir nicht klar

Comments

∃x = es gibt mindestens ein x

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Das weiß ich, aber wie erkenne ich das in deutschen Normalensätze, dass ich bei der Prädikatenlogik ein Existenzquantor benötige!

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Alle A tun B = Es existiert kein A, dass B nicht tut

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verstehe ihc nicht, beispiel bitte!

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beispiel bitte!

A: coole Schüler

B: mögen Bananen

Beim "dass" würde ich das zweite S ignorieren, vielleicht wird es dann verständlich.

Answer 1

Der Existenzquantor wird verwendet um auszudrücken, das etwas existiert.

        \(\exists x\ x > 0\)

Es gibt ein Element \(x\), so dass \(x\) größer als \(0\) ist.

Dabei ist ein nicht als Anzahl zu verstehen. Obige Aussage ist deshalb auch dann wahr, wenn es mehrere Elemente gibt, die größer als \(0\) sind.

Comments

Vielen Dank!

Könntest du mir paar Beispiele aus dem Alltag geben, dass ist mir nicht verständlich?

D.h. eine Aussage.... und diese Aussage wird dann in eine Prädikatenlogische Formel umgewandelt, wobei ein Existienzquantor vorkommt.

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Formuliere die Aussagen aus deiner Aufgabe so um, dass sie mit den Worten "Es gibt ein" oder "Es gibt kein" beginnen. Wenn das natürlich wirkt, dann beginnt die Formel mit \(\exists x\) bzw. \(\neg \exists x\).

Beispiel. (a) Es gibt keine Dinge, die rot sind und nicht in der Schachtel sind.

        \(\neg \exists x\ (\operatorname{rot}(x)\wedge \neg \operatorname{verschachtelt}(x))\)

Negationen sind häufig schwehr zu lesen. Deshalb würde ich bei der ursprünglichen Formulierung bleiben und

        \(\forall x\ (\operatorname{rot}(x)\to\operatorname{verschachtelt}(x))\)

schreiben.