Gegeben sei eine viereckige Metallplatte \( B \) mit den Eckpunkten \( P = (1, 1) \), \( Q = (3, 2) \), \( R = (2, 5) \) und \( S = (0, 3) \) in \( \mathbb{R}^2 \), und einem Parameterbereich \( \mathbb{D} = [0, 1] \times [0, 1] \).
(a) Geben Sie zu \( B \) eine Koordinatentransformation \( \phi: \mathbb{D} \to B \) an und berechnen Sie die Funktionaldeterminante \( | \det(D\phi) | \).
Tipp: Scannen Sie die Metallplatte mit der Geradenstrecke \( XY \) von \( SP \) bis \( RQ \).
(b) Berechnen Sie die Masse der Platte mit der homogenen Massendichte \( \rho(x, y) \equiv \rho \).
(c) Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Platte \( (x_s, y_s) \).
Problem/Ansatz:
Ich habe irgendwie Probleme damit meine Fehler zu finden bei meinen Rechenwegen. Ich weiss nicht ob ich einfach zu blöd bin es nicht zu erkennen, allerdings sind meine Ergebnisse die ganze Zeit falsch, da meine Kommilitonen andere Ergebnisse haben.
Ich bin mir sicher das ich irgendwo Fehler habe, allerdings kann ich sie nicht erkennen. Ich zeig euch mal grob wie ich gerechnet habe.
Aufgabe a)
Parameter Darstellung:
\( \phi(u, v) = (1-u)(1-v)P + (1-u)vS + u(1-v)Q + uvR\)
\( \phi(u, v) = (1-u)(1-v)(1, 1) + (1-u)v(0, 3) + u(1-v)(3, 2) + uv(2, 5)\)
Komponentenberechnung:
\( \phi_1(u, v) = (1-u)(1-v) \cdot 1 + (1-u)v \cdot 0 + u(1-v) \cdot 3 + uv \cdot 2 = (1-u)(1-v) + 3u(1-v) + 2uv = 1 - v + 2u\)
\( \phi_2(u, v) = (1-u)(1-v) \cdot 1 + (1-u)v \cdot 3 + u(1-v) \cdot 2 + uv \cdot 5 = 1 + 2v + u + uv\)
Ableitungen:
\( \frac{\partial \phi_1}{\partial u} = 2\)
\( \frac{\partial \phi_1}{\partial v} = -1\)
\( \frac{\partial \phi_2}{\partial u} = 1 + v\)
\( \frac{\partial \phi_2}{\partial v} = 2 + u\)
\(D\phi = \begin{pmatrix}2 & -1 \\1 + v & 2 + u \end{pmatrix}\)
\( \det(D\phi) = 2(2 + u) - (-1)(1 + v) = 5 + 2u + v\)
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Aufgabe b)
\( M = \rho \iint_{\mathbb{D}} |\det(D\phi)| \, du \, dv = \rho \int_0^1 \int_0^1 (5 + 2u + v) \, du \, dv\)
\( = \rho \int_0^1 \left[ 5u + u^2 + vu \right]_0^1 dv\)
\( = \rho \int_0^1 (5 + 1 + v) \, dv = \rho \int_0^1 (6 + v) \, dv\)
\( = \rho \left[ 6v + \frac{1}{2}v^2 \right]_0^1= \rho \left( 6 + \frac{1}{2} \right) = \rho \cdot \frac{13}{2}\)
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Aufgabe c)
Berechnung von \(x_s\)
\( x_s = \frac{2}{13\rho} \iint_{\mathbb{D}} (1 - v + 2u)(5 + 2u + v) \, du \, dv = \frac{86}{39\rho} \)
Berechnung von \(y_s\)
\( y_s = \frac{2}{13\rho} \iint_{\mathbb{D}} (1 + 2v + u + uv)(5 + 2u + v) \, du \, dv = \frac{64}{39\rho}\)
