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Gegeben sei eine viereckige Metallplatte \( B \) mit den Eckpunkten \( P = (1, 1) \), \( Q = (3, 2) \), \( R = (2, 5) \) und \( S = (0, 3) \) in \( \mathbb{R}^2 \), und einem Parameterbereich \( \mathbb{D} = [0, 1] \times [0, 1] \).


(a) Geben Sie zu \( B \) eine Koordinatentransformation \( \phi: \mathbb{D} \to B \) an und berechnen Sie die Funktionaldeterminante \( | \det(D\phi) | \).


Tipp: Scannen Sie die Metallplatte mit der Geradenstrecke \( XY \) von \( SP \) bis \( RQ \).


(b) Berechnen Sie die Masse der Platte mit der homogenen Massendichte \( \rho(x, y) \equiv \rho \).


(c) Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Platte \( (x_s, y_s) \).



Problem/Ansatz:


Ich habe irgendwie Probleme damit meine Fehler zu finden bei meinen Rechenwegen. Ich weiss nicht ob ich einfach zu blöd bin es nicht zu erkennen, allerdings sind meine Ergebnisse die ganze Zeit falsch, da meine Kommilitonen andere Ergebnisse haben.

Ich bin mir sicher das ich irgendwo Fehler habe, allerdings kann ich sie nicht erkennen. Ich zeig euch mal grob wie ich gerechnet habe.


Aufgabe a)


Parameter Darstellung:


\( \phi(u, v) = (1-u)(1-v)P + (1-u)vS + u(1-v)Q + uvR\)


\( \phi(u, v) = (1-u)(1-v)(1, 1) + (1-u)v(0, 3) + u(1-v)(3, 2) + uv(2, 5)\)


Komponentenberechnung:


\( \phi_1(u, v) = (1-u)(1-v) \cdot 1 + (1-u)v \cdot 0 + u(1-v) \cdot 3 + uv \cdot 2 = (1-u)(1-v) + 3u(1-v) + 2uv = 1 - v + 2u\)


\( \phi_2(u, v) = (1-u)(1-v) \cdot 1 + (1-u)v \cdot 3 + u(1-v) \cdot 2 + uv \cdot 5 = 1 + 2v + u + uv\)


Ableitungen:


\( \frac{\partial \phi_1}{\partial u} = 2\)


\( \frac{\partial \phi_1}{\partial v} = -1\)


\( \frac{\partial \phi_2}{\partial u} = 1 + v\)


\( \frac{\partial \phi_2}{\partial v} = 2 + u\)


\(D\phi = \begin{pmatrix}2 & -1 \\1 + v & 2 + u \end{pmatrix}\)


\( \det(D\phi) = 2(2 + u) - (-1)(1 + v) = 5 + 2u + v\)


---

Aufgabe b)


\( M = \rho \iint_{\mathbb{D}} |\det(D\phi)| \, du \, dv = \rho \int_0^1 \int_0^1 (5 + 2u + v) \, du \, dv\)


\( = \rho \int_0^1 \left[ 5u + u^2 + vu \right]_0^1 dv\)


\( = \rho \int_0^1 (5 + 1 + v) \, dv = \rho \int_0^1 (6 + v) \, dv\)


\( = \rho \left[ 6v + \frac{1}{2}v^2 \right]_0^1= \rho \left( 6 + \frac{1}{2} \right) = \rho \cdot \frac{13}{2}\)


---

Aufgabe c)


Berechnung von \(x_s\)


\( x_s = \frac{2}{13\rho} \iint_{\mathbb{D}} (1 - v + 2u)(5 + 2u + v) \, du \, dv = \frac{86}{39\rho} \)


Berechnung von \(y_s\)


\( y_s = \frac{2}{13\rho} \iint_{\mathbb{D}} (1 + 2v + u + uv)(5 + 2u + v) \, du \, dv = \frac{64}{39\rho}\)

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Deine Werte der Integrale zur Schwerpunktberechnung sind falsch.

Da du deren Berechnung nicht angegeben hast, kann man auch nicht sagen, wo du Fehler gemacht hast. Übrigens müsste sich beim Schwerpunkt die konstante Dichte rauskürzen:

\(x_s = \frac{20}{13}\)

\(y_s = \frac{110}{39}\)

Nachgerechnet mit Mathematica:

Schwerpunkt_Metallplatte.pngIch habe nochmal alles mit der im Tipp angegebenen Parametrisierung (die von deiner verschieden aussieht) mit Mathematica durchgerechnet und komme auf dasselbe Ergebnis. Den konstanten Faktor \(\rho\) hab ich dabei aber nicht mitgeschleppt:

Berechnung_Metallplattte.png

Avatar vor von 11 k

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