Dichtefunktion einer rechteckigen Platte gegeben. Bestimmen Sie die Masse M

Question

Aufgabe:

Die Dichtefunktion einer rechteckigen Platte

R = {(\( \begin{pmatrix} x\\y\ \end{pmatrix} \)            | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}
                                                                                                                                                               
ist gegeben durch ρ(x,y) = x + xy

Bestimmen Sie Masse M.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir bereits eine Formel zur Berechnung der Masse M gesucht:

M =  \( \int\limits_{}^{} \) \( \int\limits_{R}^{} \)p(x,y)dxdy.

⇒ M =  \( \int\limits_{}^{} \) \( \int\limits_{R}^{} \)(x +xy)dxdy.

Jetzt weiss ich aber nicht welche Zahlen ich wie so genau einsetzen muss den die Zahlen  |0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}  sind ja die Breite und die Länge der rechteckigen Platte.

Das erste Integral ist das unbestimmte Integral zur Berechnung der Stammfunktion und das zweite Integral ist mit den Grenzen der rechteckigen Platte.

Und dann muss ich es einmal nach x und einmal nach y integrieren.

Answer 1

Aloha :)

$$M=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^1dy\,(x+xy)=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^1dy\,x(1+y)=\int\limits_0^2x\,dx\int\limits_0^1(1+y)\,dy$$$$\phantom{M}=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2\cdot\left[y+\frac{y^2}{2}\right]_0^1=\frac{4}{2}\cdot\frac{3}{2}=3$$

Answer 2

Hallo

 die Grenzen für x sind wie angegeben von 0 bis 2, die von y von 0 bis 1, so wie du es geschrieben hast integrierst du erst über x, dann über y.

Gruß lul

Comments

Ich muss jetzt zuerst die Stammfunktion bilden und dann die Stammfunktion in den Grenzen einsetzen oder?

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Ich muss jetzt zuerst die Stammfunktion bilden und dann die Stammfunktion in den Grenzen einsetzen oder?

Irgendwie komme ich beim Schwerpunkt jetzt nicht weiter. Da kommt etwas raus das weiss ich nicht wie man das zeichnen soll.

Schwerpunktformel:

Sx = \( \frac{1}{M} \)  \( \int\limits_{}^{} \)(x * p(x,y))dxdy

Sy = \( \frac{1}{M} \)  \( \int\limits_{}^{} \)(y * p(x,y))dxdy

Das sind meine Formeln aber irgendwie mache ich glaube ich etwas Falsch.

Würde mich freuen wenn sie mir nochmal weiterhelfen.

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Hallo

 1. was hast du für M raus?

 2. du musst schon deine Rechnung zeigen, damit wie deinen Fehler finden

für uns macht Rechnungen hier reinschreiben die gleiche Arbeit wie dir, und du willst doch Hilfe?

Gruß lul

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Ich habe schon den ersten Fehler gefunden probiere es nochmals nachzurechnen.

Ich habe jetzt nachgerechnet:

Meine Rechnung ist  M = \( \int\limits_{0}^{2} \)(x+xy)dx\( \int\limits_{0}^{1} \)(x+xy)dy

Ergebnis mit Tachenrechner TI -nspire cx  CAS lautet 2*(xy+1)*(x+xy) , weiss nicht was da  falsch ist aber mit dem bekomme ich kein passendes Ergebnis raus.

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Hallo

 mir scheint, du hast das Doppelintegral falsch verstanden, du multiplizierst 2 Integrale?

was du in deinen TR eingegeben hast kann ich nicht ahnen, was da steht hat nichts mit dem Doppelintegral zu tun und nichts mit dem Produkt der Integrale.

eigentlich solltest du doch ax dx  oder x^2dx ohne TR integrieren können?

aber T.. hast dir ja jetzt vorgerechnet, ich hoffe, dass du s ansiehst, weglegst und es dann noch mal selbst versuchst, um zu sehen, was du falsch gemacht hast

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Ja danke bin schon draufgekommen