Intervalle mit komplizierten Zahlen

Question

Ich verstehe nicht wie ich Intervalle bilden sollen, kann mir jemand helfen bitte

Text erkannt:

b) Stellen Sie die folgenden Mengen als Intervall bzw. als Vereinigung von Intervallen dar:
\( \begin{array}{l} A=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, \frac{x+2}{3 x-4}>2\right. \text { und } 3 x-4 \neq 0\right\} \\ B=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, \frac{3 x+6}{4 x-\frac{1}{2}} \leq 4\right. \text { und } 4 x-\frac{1}{2} \neq 0\right\} \end{array} \)

Answer 1

Für so etwas gibt es einen Weg, ohne viel mit Ungleichungen rechnen zu müssen. Ich zeig das am Beispiel der Menge A.

Du bringst erstmal alles auf eine Seite und gibst der so entstehenden Funktion einen Namen - zum Beispiel \(f\):

\(f(x) = \frac{x+2}{3x-4}-2 > 0\)

Diese Funktion kann ihr Vorzeichen nur an Nullstellen ändern oder an Stellen, an denen der Nenner nicht definiert ist (Unstetigkeitstellen):

Nullstellen:

\(f(x) = \frac{x+2}{3x-4}-2 = 0 \Rightarrow x+2 = 2(3x-4)\stackrel{ausrechnen}{\Rightarrow} \color{blue}x=2\)

Nullstelle Nenner:

\(3x-4 =0 \Rightarrow \color{blue}x=\frac 43\)

Damit bekommst du folgende Intervalle, auf denen die Funktion ihr Vorzeichen nicht ändert:

\(\left(-\infty , {\color{blue}{\frac 43}}\right)\),\(\left({\color{blue}{\frac 43}} , {\color{blue}{2}}\right)\) und \(({\color{blue}{2}},\infty)\)

Jetzt nimmst du dir aus jedem Intervall einen x-Wert als Testwert und überprüfst das Vorzeichen. Das lässt sich übersichtlich in einer Tabelle darstellen:

Intervall	\(\left(-\infty , {\color{blue}{\frac 43}}\right)\)	\(\left({\color{blue}{\frac 43}} , {\color{blue}{2}}\right)\)	\(({\color{blue}{2}},\infty)\)
Testwert x	\(x=0\)	\(x=\frac 53\)	\(x=3\)
\(f(x)=\frac{x+2}{3x-4}-2\)	f(0) <0	f(5/3)>0	f(3)<0
Vorzeichen	-	+	-

Simsallabim, da hast du dein Intervall:

\(A = \left({\color{blue}{\frac 43}} , {\color{blue}{2}}\right)\)

In gleicher Weise kannst du bei Menge B vorgehen. Probier's mal und melde dich einfach, falls es Probleme gibt.

Answer 2

Aloha :)

Zuerst würde ich die Bedingungen für A so vereinfachen, dass \(x\) nur ein Mal auftaucht:$$2<\frac{x+2}{3x-4}=\frac{\frac13\cdot(3x+6)}{3x-4}=\frac13\cdot\frac{(3x-4)+10}{3x-4}=\frac13\left(1+\frac{10}{3x-4}\right)\stackrel{\cdot3}{\Longleftrightarrow}$$$$6<1+\frac{10}{3x-4}\stackrel{-1}{\Longleftrightarrow}5<\frac{10}{3x-4}\stackrel{\div5}{\Longleftrightarrow}1<\frac{2}{3x-4}$$Die letzte Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn der Nenner positiv und kleiner als 2 ist:$$0<3x-4<2\stackrel{+4}\Longleftrightarrow4<3x<6\stackrel{\div3}{\Longleftrightarrow}\frac43<x<2\Longleftrightarrow\pink{ x\in\left(\frac43\bigg|2\right)}$$

Für B gehst du analog vor.

Also erst die Ungleichung vereinfachen, dass \(x\) nur ein Mal auftaucht:$$4\ge\frac{3x+6}{4x-\frac12}=\frac{\frac38\cdot\left(8x+16\right)}{\frac12\cdot(8x-1)}=\frac{\frac38}{\frac12}\cdot\frac{(8x-1)+17}{8x-1}=\frac34\left(1+\frac{17}{8x-1}\right)\stackrel{\cdot\frac43}{\Longleftrightarrow}$$$$\frac{16}{3}\ge1+\frac{17}{8x-1}\stackrel{-1}{\Longleftrightarrow}\frac{13}{3}\ge\frac{17}{8x-1}\stackrel{\cdot\frac{3}{13}}{\Longleftrightarrow}1\ge\frac{\frac{51}{13}}{8x-1}$$Diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn der Nenner negativ ist, denn dann ist der Bruch auf der rechten Seite negativ:$$8x-1<0\stackrel{+1}{\Longleftrightarrow}8x<1\stackrel{\div8}{\Longleftrightarrow}x<\frac18\Longleftrightarrow x\in\left(-\infty\bigg|\frac18\right)$$Die Bedingung ist aber auch erfüllt, falls der Nenner größer gleich dem Zähler ist:$$8x-1\ge\frac{51}{13}\stackrel{+1}{\Longleftrightarrow}8x\ge\frac{64}{13}\stackrel{\div 8}{\Longleftrightarrow}x\ge\frac{8}{13}\Longleftrightarrow x\in\left[\frac{8}{13}\bigg|\infty\right)$$Wir fassen zusammen und finden für B:$$\pink{x\in\left(-\infty\bigg|\frac18\right)\cup\left[\frac{8}{13}\bigg|\infty\right)}$$

Comments

Text erkannt:

b.)
\( A=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, \frac{x+2}{3 x-4}>2\right. \text { and } 3 x-4 \neq 0\right\} \)
1.)
\( \text { 1.) } \begin{array}{l} \frac{x+2}{3 x-4}>2 \mid \cdot(3 x-4 \\ x+2>2 \cdot(3 x-4) \\ x+2>6 x-8 \\ 10>5 x \quad 1: 5 \\ 7<x \\ x>2 \\ \frac{4}{3}<x>2 \end{array} \)
\( \begin{array}{ll} 3 x-4<0 & 1+4 \\ 3 x<4 & 1: 3 \\ x<\frac{4}{3} \quad y & \text { Der } x \text {-WeA conn nieht } \end{array} \)
gleichaitig grifter als 2 und keviner als \( \frac{4}{3} \) sein.
4
\( \begin{array}{c} 3 x-4>0 \quad 1+4 \\ 3 x>4 \quad 1: 3 \\ x>\frac{4}{3} \end{array} \)

Intervall: \( A:\left(\frac{4}{3}, 2\right) \)
\( \begin{array}{l} B=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, \frac{3 x+6}{4 x-\frac{1}{2}} \leq 4\right. \text { und } 4 x-\frac{1}{2} \neq 0\right\} \\ \left.\frac{3 x+6}{4 x-\frac{1}{2}} \leq 4 \quad \right\rvert\, \cdot\left(4 x-\frac{1}{2}\right) \\ 4 x-\frac{1}{2}<0 \quad 1+\frac{1}{2} \\ 3 x+6 \leq 4 \cdot\left(4 x-\frac{1}{2}\right) \\ 4 x<\frac{1}{2} \quad 1 \cdot \frac{1}{4} \\ 3 x+6 \leq 16 x-2|-6|-16 x \\ -13 x \leq-8 \\ \text { I: }(-13) \\ x \leq \frac{8}{13} \\ x<\frac{1}{8} \\ \frac{8}{13} \geq x>\frac{1}{8} \\ \left.4 x-\frac{1}{2}>0 \quad \right\rvert\,+\frac{1}{2} \\ \left.4 x>\frac{1}{2} \quad \right\rvert\, \cdot \frac{1}{4} \\ x>\frac{1}{8} \end{array} \)

Intervall: \( B=\left(\frac{1}{8}, \frac{8}{13}\right) \)

wäre das auch so richtig?

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wäre das auch so richtig?

Nein.

\( \text {} \begin{array}{l}  \frac{x+2}{3 x-4}>2 \mid \cdot(3 x-4) \\ x+2>2 \cdot(3 x-4) \end{array} \)

Bereits dein Übergang von der 1. zur 2. Zeile ist unsauber. Die zweite Zeile kann genausogut x+2<2(3x-4) lauten. Du musst also bereits nach der ersten Zeile die Fallunterscheidung x>4/3 bzw. x<4/3 machen.