Für so etwas gibt es einen Weg, ohne viel mit Ungleichungen rechnen zu müssen. Ich zeig das am Beispiel der Menge A.
Du bringst erstmal alles auf eine Seite und gibst der so entstehenden Funktion einen Namen - zum Beispiel \(f\):
\(f(x) = \frac{x+2}{3x-4}-2 > 0\)
Diese Funktion kann ihr Vorzeichen nur an Nullstellen ändern oder an Stellen, an denen der Nenner nicht definiert ist (Unstetigkeitstellen):
Nullstellen:
\(f(x) = \frac{x+2}{3x-4}-2 = 0 \Rightarrow x+2 = 2(3x-4)\stackrel{ausrechnen}{\Rightarrow} \color{blue}x=2\)
Nullstelle Nenner:
\(3x-4 =0 \Rightarrow \color{blue}x=\frac 43\)
Damit bekommst du folgende Intervalle, auf denen die Funktion ihr Vorzeichen nicht ändert:
\(\left(-\infty , {\color{blue}{\frac 43}}\right)\),\(\left({\color{blue}{\frac 43}} , {\color{blue}{2}}\right)\) und \(({\color{blue}{2}},\infty)\)
Jetzt nimmst du dir aus jedem Intervall einen x-Wert als Testwert und überprüfst das Vorzeichen. Das lässt sich übersichtlich in einer Tabelle darstellen:
Intervall
| \(\left(-\infty , {\color{blue}{\frac 43}}\right)\)
| \(\left({\color{blue}{\frac 43}} , {\color{blue}{2}}\right)\)
| \(({\color{blue}{2}},\infty)\)
|
Testwert x
| \(x=0\)
| \(x=\frac 53\)
| \(x=3\)
|
\(f(x)=\frac{x+2}{3x-4}-2\)
| f(0) <0
| f(5/3)>0
| f(3)<0
|
Vorzeichen
| -
| +
| -
|
Simsallabim, da hast du dein Intervall:
\(A = \left({\color{blue}{\frac 43}} , {\color{blue}{2}}\right)\)
In gleicher Weise kannst du bei Menge B vorgehen. Probier's mal und melde dich einfach, falls es Probleme gibt.