Aufgabe:
Physik: Elektrostatik
Sei \(\vec{F}(\vec{r})\) ein Vektorfeld, das für \(\vec{r} \rightarrow \infty\) mindestens so schnell verschwindet wie \(\frac{1}{r^2}\). Zeigen Sie, dass sich \(\vec{F}(\vec{r})\) wie folgt zerlegen lässt:
\(\vec{F}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi} \left( \vec{\nabla_{\vec{r}}} \times \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\vec{\nabla_{\vec{r'}}} \times \vec{F}(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}dV' - \vec{\nabla_{\vec{r}}} \cdot \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\vec{\nabla_{\vec{r}}} \cdot \vec{F}(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}dV'\right)\)
Woran sieht man, dass der erste Term quellenfrei, der zweite wirbelfrei ist?
Hinweise:
1. Schreiben Sie Ableitungen nach \(\vec{r}'\) so um, dass sie auf \(\vec{r}\) wirken. Benutzen Sie dazu die „Produktregeln“ für Divergenz und Rotation sowie die Sätze von Stokes und Gauß.
2. Benutzen Sie außerdem
\(-\frac{1}{4\pi} \triangle \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \delta(\vec{r} - \vec{r}')\)
Problem/Ansatz:
Mit anderen Worten sagt die Aufgabe:
Versuche zu zeigen das beide integrale (rechte und linke Seite ) gleich 0 ergeben.
Das Problem ist, dass ich es irgendwie nie so schaffe das 0 rauskommt. Ich habe die ganze Zeit versucht diese "Hinweise" anzuwenden, allerdings komm ich irgendwie nur durcheinander.
Vor allem bei dem zweiten Hinweis verstehe ich nicht wirklich wie ich es einsetzen soll.
Kann mir jemand helfen?
Danke im voraus
