Satz. Sind die Funktion \( f \) und das Vektorfeld \( \mathcal{V} \) der Klasse \( C^{2} \) definiert auf einer offenen Menge \( U \subset \mathbb{R}^{3} \), so gilt:
(1) \( \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathcal{V}))=0 \) und \( \operatorname{rot}(\operatorname{grad}(f))=0 \);
(2) \( \operatorname{rot}(f \cdot \mathcal{V})=f \cdot \operatorname{rot}(\mathcal{V})+\operatorname{grad}(f) \times \mathcal{V} \), wobei \( \times \) das Vektorprodukt in \( \mathbb{R}^{3} \) bezeichnet;
(3) verschwindet die Rotation \( \operatorname{rot}(\mathcal{V})=0 \) von \( \mathcal{V} \) und ist \( U \) sternförmig, so existiert eine Funktion \( f \) mit \( \mathcal{V}=\operatorname{grad}(f) \);
(4) verschwindet die Divergenz \( \operatorname{div}(\mathcal{V})=0 \) von \( \mathcal{V} \) und ist \( U \) sternförmig, so existiert ein Vektorfeld \( \mathcal{W} \) mit \( \mathcal{V}=\operatorname{rot}(\mathcal{W}) \)
Hallo, ich soll für ein Seminar, das ich aktuell besuche, die obigen Eigenschaften beweisen. Zu der ersten Eigenschaft konnte ich beweise im Internet finden, bei dem Rest bin ich aber seit Tagen am verzweifeln, weil ich kaum etwas vernünftiges dazu finde. Bei der zweiten Eigenschaft kann ich mir vorstellen, dass es aus der Produktregel ausgehend stimmen muss, aber weiß nicht, wie ich es aufschreiben soll.
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen ^^
