Hyperbel geht durch 2 Punkte

Question

Aufgabe:

Eine Hyperbel geht durch die Punkte A und B, bestimme die Gleichung der Hyperbel

A= (1 und 0,2) B= 0,2 und 25)
Problem/Ansatz:

Habe keine Ahnung wie man vorgehen muss

Comments

https://www.mathematische-basteleien.de/hyperbel.htm

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Habe keine Ahnung ...

Du solltest nach Ideen suchen, wie Du auf

y = 5 / (31x - 6)

kommen kannst. Dazu muss man halt im Buch lesen, was eine Hyperbel ist und was es dazu für Formeln gibt.

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\(y = 1 / (5x^{3})\)

hätte gar nicht gewußt, dass dies eine Hyperbel ist. Mein Favorit ist$$y=\frac{5}{31x-6}$$

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Danke, meiner auch :)

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Habe jetzt f(x) = 1 durch 5x^3 raus habe die Probe gemacht stimmt auch

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Wie Werner schon schrieb, das ist keine Hyperbel.

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Es scheint Schulmathe erfindet weiter neue Definitionen. Oft wird "Parabel" für gerade Polynome benutzt, jetzt wahrscheinlich Hyperbel alles was die Form f(x)=a/x^n ha!

Grausig aber wahr.

lul

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A(1|0,2) → a=0,2

B(0,2|25)

 --> 25=0,2•0,2^{-n}

 --> 125 =  5^n

 --> n=3

\(f(x)=0,2\cdot\dfrac{1}{x^3}\)

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Leider in der Schule ist so eine Funktion eine "Hyperbel" Schule darf heute jeden mathematischen Begriff, auch wenn er schon seit den Griechen fest liegt neu definieren siehe etwa https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/potenzfunktionen-hyperbeln-und-ihre-eigenschaften#hyperbeln-funktionsgleichung

Grausig aber wahr.

Mathecoach widerspricht schon lange nicht

https://www.mathelounge.de/973398/wie-verlauft-die-hyperbel-mit-steigenden-ungeraden-exponent

lul

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Was heißt denn "neu definieren"? Wenn es versch. Definitionen gibt, welche ist denn dann "die richtige" bzw. wer entscheidet das? Tatsache ist jedenfalls, dass f(x)=... oder y=.... keine Hyperbel ist, sondern eine Funktionsvorschrift. Eine Hyperbel ist ein geometrisches Objekt, d.h. eine Punktmenge.

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Leider werden hier und auch auf anderen Seiten unterschiedliche Begriffe synonym verwendet.

Die Kurve ist meiner Meinung nach der Funktionsgraph,

\(f(x)=a\cdot\dfrac{1}{x^n}\) die Funktionsgleichung,

\(f:~~~x\mapsto a\cdot\dfrac{1}{x^n}\) die Funktion bzw. Zuordnung.

Im Lambacher-Schweizer sieht es ganz abenteuerlich aus, wie man bei wokmanns letzter Frage https://www.mathelounge.de/1092869/bestimme-die-gleichungen-zu-den-hyperbeln-in-figur-2 sieht:

Für jede Potenzfunktion \( f \mapsto a \cdot x^{-n}(a \neq 0 ; n \in \mathbb{N}, n>0) \) gilt:
- Der Graph ist eine Hyperbel.

Hier wird nicht nur der Begriff Hyperbel "neu" definiert, sondern auch die Funktion falsch angegeben.

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Die Angabe der Funktion ist natürlich voll daneben (vielleicht ein Druckfehler).

Eine "Def." von "Hyperbel" steht da nicht. Da steht nur, dass der Graph dieser Funktion eine ist. Es steht eben nicht da, dass die Graphen anderer Funktionen keine H. sind. Das passt schon zu mancher Definition, evtl auch zu einer eventuell im LS angegebenen.

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Mein Favorit ist

f(x) = a + b/(x-c)  auch für c ≠ 1/5,

 

und da nur zwei Punkte für drei Parameter gegeben sind, die Aufgabe aber nach der Hyperbel verlangt, muss ihr Autor wohl einen anderen Hyperbelbegriff haben oder er hat nicht gemerkt, dass es eine ganze Funktionenschar gibt, die die Vorgabe erfüllen.

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Korrektur : statt c ≠ 1/5 sollte es c ≠ 6/31 heißen.

Answer 1

A = (1 | 0,2) B = (0,2 | 25)

Ansatz

Nimmt man als Ansatz den Kehrwert der linearen Funktion

f(x) = 1/(a·x + b)

Bedingungen

f(1) = 1/(a + b) = 0.2 → a + b = 5
f(0.2) = 1/(0.2·a + b) = 25 --> 5·a + 25·b = 1

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte: a = 31/5 ∧ b = - 6/5

f(x) = 1/(31/5·x - 6/5)

erweitern mit 5

f(x) = 5/(31·x - 6)

Comments

Nimmt man als Ansatz eine Funktionsgleichung der Form

f(x) = a/x^n (aus dem Lambacher Schweizer, aber Achtung. Dies wäre kein Kegelschnitt)

f(1) = a/1^n = 0.2 → a = 0.2

f(0.2) = 0.2/0.2^n = 25 → n = 3

Damit würde die Hyperbel dann die Gleichung

f(x) = 0.2/x^3 haben.

Nimmt man als Ansatz eine Gleichung der Form

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

dann gibt es keine Lösung.

Nimmt man den Ansatz

f(x) = a/(x - b) + c

dann gibt es unendlich viele Lösungen.

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\(x^{2}/a^{2} - y^{2}/b^{2} = 1\)
dann gibt es keine Lösung.

Du kannst die Hyperbel ja noch verschieben:$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Nimmt man den Ansatz
\(f(x) = a/(x - b) + c\)

das ist auch nur 'ne Verschiebung von$$xy=a \to (x-b)(y-c)=a$$