Zeigen Sie, dass die Punkte P (4|-2|3) und Q (-2|2|1) auf E liegen und dass v zu E orthogonal ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E: -2x-y+4z = 6 und der Vektor v = (4;2;-8)
a) Zeigen Sie, dass die Punkte P (4|-2|3) und Q (-2|2|1) auf E liegen und dass v zu E orthogonal ist.
b) Stellen Sie mithilfe von P und V eine Koordinatengleichung für E auf. Vergleichen Sie diese mit der ursprünglichen Gleichung für E.
c) Stellen Sie mithilfe von Q und v eine Koordinatengleichung für E auf.

Kann mir jemand dabei helfen?

Comments

a)

Setze die Koordinaten in die Ebenengleichung ein und zeige, dass die Gleichung stimmt.

Wenn nicht, dann nicht.

b) und c)

Du findest die Anleitung unter "Normalenform in Koordinatenform umwandeln".

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Es braucht einen Punkt und zwei Vektoren, um die Ebene aufzuspannen.

Gesucht ist eine Koordinatengleichung. Da ist es viel zu aufwändig, zunächst über die Parametergleichung zu gehen, vor allem, wenn bereits ein Normalenvektor angegeben ist.

Answer 1

Hier stimmt so einiges nicht. Die Punkte liegen nicht in der Ebene und der angegebene Vektor ist auch nicht orthogonal zur Ebene.

Vorgehen:

Mache eine Punktprobe. Setze also die Koordinaten der Punkte in die Ebenengleichung ein und prüfe, ob diese erfüllt ist.

Ein Vektor ist orthogonal zu einer Ebene, wenn er ein Vielfaches eines Normalenvektors ist. Bei einer Koordinatengleichung kann man den Normalenvektor direkt ablesen. Das sind die Zahlen vor den Buchstaben (sollte auch alles in deinen Unterlagen stehen).

Für die rechte Seite der Koordinatengleichung bildet man einfach das Skalarprodukt aus Ortsvektor (eines Punktes der Ebene) und Normalenvektor. Das kannst du dann bei den letzten beiden Fragen machen.

Comments

Sorry und Danke. Ich hab die Aufgabe falsch abgeschrieben. Die Gleichung hab ich nochmal korrigiert. Kannst du mir b) und c) nochmal erklären?

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Du nimmst denselben Normalenvektor \(\vec{v}\) und für die rechte Seite berechnest du das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Ortsvektor des jeweiligen Punktes.