Weise nach, dass der vektor v orthogonal zu E verläuft

Question

Gegeben sind die Punkte \(\cancel{A(2|3|1)}\) A(2/1/3), B( 4/4/2) und C(2/5/1) sowie S(2/6/11)  weise nach, dass der vektor v(-1/2/4) orthogonal senkrecht zu E verläuft. Und stelle eine geradengleichung auf, die durch S und orthogonal zu E verläuft

Comments

Könnte E eine Ebene sein? Und wie ist E definiert?

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Ja E steht für Ebene jedoch weiß ich nicht wie diese definiert ist

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Könnte es sein, dass A, B und C in der Ebene liegen? Dann wäre sie ja definiert.

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Könnte sein, steht halt nicht in der Aufgabe

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ich nehme an, es muss wieder A(2|1|3) heißen - oder?

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Ja sollte es☺️

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... weise nach, dass der vektor v(-1/2/4) orthogonal senkrecht zu E verläuft.

Ich gehe mal davon aus, dass \(E\) durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) gegeben ist!

Wenn Du nachweisen willst, dass ein Vektor \(v\) orthogonal zu \(E\) steht, reicht es aus, das Skalarprodukt von zwei der Differenzvektoren mit \(v\) zu bilden. Ist das Produkt jeweils \(=0\) so steht \(v\) senkrecht auf \(E\). Also für \(\vec {AB}\):$$\vec {AB} \cdot v = (B-A) \cdot v \\ \phantom{\vec {AB} \cdot v } =\left(\begin{pmatrix} 4\\4\\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix} -1\\2\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\2\\4 \end{pmatrix} = 0 \space \checkmark$$mache das gleiche für \(\vec{BC}\)

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Bzw.: man kann auch nur die Skalarprodukte \(Av\), \(Bv\) und \(Cv\) berechnen. Kommt in jedem Fall der gleiche Wert heraus (hier 12), so liegen die drei Punkte in einer Ebene senkrecht zu \(v\).