Analytische Geometrie: Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen

Question

A(3|2|2) ; B(5|3|0) ; C(7|4|-2) ; D(4|4|4)

Ich habe vier Punkte gegeben A, B, C, D. Ich soll zeigen, dass A, B, C auf einer Geraden liegen. Muss ich als Ortsvektor OA(3|2|2) nehmen oder geht auch OB(5|3|0)?

(restlichen Schritte sind mir bewusst)

Comments

Es würde auch OC gehen.

---

Gut, in der Musterlösung hatte "Man wählt [...]" eine optative Note mitgeschwungen.

---

Wegen \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) gibt es hier aber nicht viel zu tun.

---

Jo, Punkt C liegt drauf.

Answer 1

A(3|2|2) ; B(5|3|0) ; C(7|4|-2) ; D(4|4|4)

AB = B - A = [2, 1, -2]

AC = [4, 2, -4]

AD = [1, 2, 2]

AB und AC sind linear abhängig und damit liegen A, B und C auf einer Geraden.

D liegt nicht auf der Geraden weil AD linear unabhängig zu AB ist.

Comments

Du wirst überlicherweise einen anderen ungünstigeren Weg in Lehrbüchern finden. Dort wird eine Gerade durch die Punkte A und B aufgestellt und dann geprüft ob C auf dieser Geraden liegt. Das ist allerdings etwas aufwendiger, weshalb ich das etwas anders mache.

A + r * AB = C

[3, 2, 2] + r * [2, 1, -2] = [7, 4, -2]

r = 2 erfüllt die Gleichung und damit liegt C auf der Geraden durch A und B.

---

Genau, so habe ich es gemacht. Du hast Verbindungsvektoren berechnet und auf Lineare Abhängigkeit geprüft - das sieht für mich nach mehr Aufwand aus...?

---

Da du die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren eigentlich meist ohne Rechnung sehen kannst ist das viel weniger Aufwand.

Für die Geradengleichung musst du ja eh schon einen der beiden Richtungsvektoren bilden.

Du kannst es ja mal an ein paar Beispielen Versuchen.

Wenn du das mit der Geraden leichter findest, kannst du es aber auch weiterhin so machen. ist ja letztendlich das Gleiche wie folgende Rechnung zeigt:

A + r * AB = C

r * AB = C - A

r * AB = AC

Letztere Gleichung ist ja die Bedingung für die lineare Abhängigkeit für AB ≠ 0.

---

Ich sehe das noch nicht :D

---

Ich sehe das noch nicht :D

AB = [2, 1, -2]
AC = [4, 2, -4]

Du siehst nicht das alle Einträge von AC genau doppelt so groß sind wie die von AB?

Ok. Dann hätte ich dir mehr zugetraut :)

---

Der letzte Satz hat mich leicht aggresiv gemacht... !!!=?")§!?=§) ... :)

Ich schaue mir eventuell mal ein paar mehr Grafiken an, um ein besseres Verständnis zu bekommen. Aber jetzt wo es sagst, wirkt es offensichtlich...

---

Ich kann alle Geraden- und Ebengleichungen untereinander umformen, weiß aber nicht, was ich überhaupt mache :D. Ich muss das ganze jetzt mal praktischer angehen.

---

Das macht Sinn. Gerade um Textaufgaben zu bewältigen ist ein Verständnis bei dem was man macht sinnvoll :)

---

Du siehst nicht das alle Einträge von AC genau doppelt so groß sind wie die von AB?

Habe es jetzt verstanden. Weil AC ein Vielfaches von AB ist, sind sie kollinear und somit lin. abhängig.