8. Klasse - Ergänzung und Umwandlung mithilfe binomischer Formeln

Question

Aufgabe:

Du bist ein Schüler der 8.Klasse.
Ergänze so, dass sich die Summen mithilfe binomischer Formeln in Produkte umformen lassen! Gib jeweils dieses Produkt an!
b² + 0,4b + 0,1

Problem/Ansatz:

Was / wie kann man hier ergänzen?

Comments

Ergänze so, dass sich die Summen mithilfe binomischer Formeln in Produkte umformen lassen! Gib jeweils dieses Produkt an!
b² + 0,4b + 0,1

Wo hast du denn diese Aufgabe her?

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Ist Bestandteil einer Klassenarbeit.

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Ist Bestandteil einer Klassenarbeit.

Bist du in der 8. Klasse?

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Nein ich nicht, aber meine Tochter.

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Okay, ich tippe auf eine fehlerhaft gestellte Aufgabe oder eine falsche Wiedergabe der Aufgabe.

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Die Aufgabenstellung ist wortwörtlich so korrekt. Die Addition ist ebenfalls identisch.

Answer 1

b²+0,4b +... ist der Anfang von (b+0,2)².

(b+0,2)² ergibt aber b²+0,4b + 0,04 und nicht  b² + 0,4b + 0,1.

Also muss man von b² + 0,4b + 0,1 noch 0,06 subtrahieren, um auf b² + 0,4b + 0,04 zu kommen.

b² + 0,4b + 0,1-0,06  kann dann als (b+0,2)² geschrieben werden.

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Danke für die Antwort!

Eine anderes Beispiel lautet:

36x² - 24x + 2

Wäre es laut Aufgabenstellung egal, ob die Ergänzung durch Addition oder Multiplikation erfolgt?

36x² - 24x + 2 + 2
36x² - 24x + 2 • 2

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b² + 0,4b + 0,1-0,06  kann dann als (b+0,2)² geschrieben werden.

Allerdings lässt sich das nicht mit den Mitteln der Klasse 8 als Produkt schreiben!

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Allerdings lässt sich das nicht mit den Mitteln der Klasse 8 als Produkt schreiben!

Ich habe in meiner 8. Klasse das Thema "binomische Formeln" gerade abgeschlossen. Es ist allerdings tatsächlich möglich, dass das in anderen deutschen Kleinfürstentümern später kommt...

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Der angegebene Term lässt sich in den reellen Zahlen nicht faktorisieren.

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Könnte eine "quadratische Ergänzung" zur Lösung führen?

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Könnte eine "quadratische Ergänzung" zur Lösung führen?

Genau darum geht es.

Und

36x² - 24x + 2 + 2

ist genau die richtige quadratische Ergänzung zu

(6x-2)².

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Der angegebene Term lässt sich in den reellen Zahlen nicht faktorisieren.

Deswegen soll man ja auch ergänzen ... Was sonst soll "ergänzen" in dieser Aufgabe bedeuten?

Allerdings lässt sich das nicht mit den Mitteln der Klasse 8 als Produkt schreiben!

Binomische Formeln lernt man sehr wohl schon in Klasse 8. Und da kann man bereits erwarten, dass Schüler erkennen, dass zur Umkehrung etwas fehlt, was man dann ergänzen kann. Dafür braucht man die quadratische Ergänzung, die man bei der Umrechnung der Normalform in die Scheitelpunktform von Parabeln nutzt, nicht.

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Der angegebene Term lässt sich in den reellen Zahlen nicht faktorisieren.

Doch, nämlich mit Hilfe der dritten binomischen Formel.

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Zur Erinnerung: Es geht hier um den Term

\(b^2 + 0,4b + 0,1\)

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Da sagst du mir nichts Neues.

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Okay, ich halte fest: Der vorliegende quadratische Term hat keine reellen Nullstellen. Wie würde er sich dennoch in ein Produkt verwandeln lassen ohne irgendwelche Zahlen auszuklammern?

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Zur Erinnerung: Es geht um die Aufgabenstellung

Ergänze so, dass ...

Was ist daran schon wieder nicht zu verstehen?

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Was ist daran schon wieder nicht zu verstehen?

Damit ihr es versteht, mache ich es einmal langsam für den Fall b<0 vor (der Fall b>0 geht analog).

b^2 + 0,4b + 0,1 = b^2 - 2*√0,1*b + (√0,1)^2 +2*√0,1*b + 0,4b (das ist die Ergänzung)
= (b - √0,1)^2 - (-b)*(2*√0,1 + 0,4) (das ist die zweite binomische Formel)
= (b - √0,1)^2 - √(-b*(2*√0,1 + 0,4))^2
= (b - √0,1 + √(-b*(2*√0,1 + 0,4)))  *  (b - √0,1 - √(-b*(2*√0,1 + 0,4))) (das ist die dritte binomische Formel).

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Ich bezweifle ganz stark, dass die Aufgabe so gemeint ist.

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Das spielt für das Widerlegen von azs Aussage keine Rolle.

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Damit ihr es versteht, mache ich es einmal langsam für den Fall b<0 vor (der Fall b>0 geht analog).

Aha, dankeschön, jetzt habe ich es auch verstanden. Die Ergänzung ist gar keine quadratische, wie ich erwartet hatte, aber die Aufgabenstellung spricht ja auch nur von einer geeigneten Ergänzung. Der Term ist allso durchaus faktorisierbar, nur eben nicht in Linearfaktoren.

Answer 2

b^2 +0,4b+0,1 = b^2+0,4b+0,2^2-0,2^2+0,1 = (b+0,2)^2+0,06

Allgemein:

a^2+b+c = a^2+b+(b/2)^2-(b/2)^2 +c = ((a +(b/2))^2 - (b/2)^2 +c

Comments

Danke für deine Antwort!

In der Aufgabenstellung ist ein Produkt gefordert. Mit meinem (Eltern) Laienverständnis wäre (b+0,2)2+0,06 aber kein reines Produkt. Oder?

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Die allgemeine Formel Ist außerdem falsch.

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Danke für die Antwort.

Wie müsste die allgemeine Formel richtig lauten?

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Es war ein Schreibfehler. Der Exponent musst hinter der äußeren Klammer stehen.

a^2+b+c = a^2+b+(b/2)^2-(b/2)^2 +c = ((a +(b/2))^2 - (b/2)^2 +c

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Hat sich was geändert? Weiterhin falsch.

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Ich denke es gilt:

(a + (b/2))^2 = a^2 + ab + (b/2)^2

Siehst du dann deinen Fehler bzw. deine Fehler?

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Siehst du dann deinen Fehler?

Ja, danke. So antwortet ein normaler, kollegialer, freundlicher, wohlwollender Mensch. Ich habe das a schlicht vergessen/übersehen und r. macht so ein Drama daraus, obwohl ich schon mehrfach um konkrete Fehlerbenennung gebeten hatte, auch um den TS nicht unnötig lang hinzuhalten. Mehr will ich nicht dazu sagen. Du bist ein vorbildlicher Helfer für mich. Nochmal Danke.