Identisch verteilte ZV Grenzwert

Question

Sei \( \left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Folge unabhängig identisch verteilter reeller Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion \( F \) mit \( \lim \limits_{t \downarrow 0} \frac{F(t)}{t}=\lambda>0 \) und für \( n \in \mathbb{N} \) sei

\( Z_{n}:=n \cdot \min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) . \)

Sei \( F_{n} \) die Verteilungsfunktion von \( Z_{n} \). Berechnen Sie die den punktweisen Grenzwert der Verteilungsfunktionen für \( n \rightarrow \infty \), also bestimmen Sie für jedes \( t \in \mathbb{R} \) den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} F_{n}(t) \).

Ich bin nun bis hier gekommen: F_n(t) = 1-(1-F(t/n))^n
Und ich jetzt will ich den Grenzwert lim F_n(t) für n gegen unendlich ausrechnen. Aber hier komme ich nicht weiter, ich weiss nicht wo ich die Eigenschaft der Verteilungsfunktionen F anwenden kann.

Comments

Ich ergänze mal eine "ehrliche" Berechnung des Grenzwertes.
\(\displaystyle \lim_{t\to 0^+} F(t) = \lim_{t\to 0^+} \left(\frac{F(t)}{t}\cdot t\right)=\lambda\cdot 0 = 0\)

Damit ist also \(F(t) = 0\) für \(t\leq 0\) und \(F\) ist stetig in \(t=0\).

Ein üblicherweise bekannter Grenzwert ist:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}(1-x)^{\frac 1x} = e^{-1}\)

Damit erhalten wir für \(t> 0\):

\(\displaystyle \left(1- F(t/n)\right)^n = \left[ \left( \left(1- F(t/n)\right)^{\frac{1}{F(t/n)}} \right) \right]^{\frac{F(t/n)}{t/n}\cdot t}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow} \left[(e^{-1})\right]^{\lambda t} = e^{-\lambda t}\)

Answer 1

Wenn \(n\to \infty\), dann geht \(\frac{t}{n}\to 0\). Jetzt besagt die Grenzwerteigenschaft von \(F\), dass sich \(F\) für kleine Funktionswerte proportional zu seinem Argument verhält, also \(F(t)\approx \lambda t\) für sehr kleine \(t\). Damit gilt \(F(\frac{t}{n})\approx \lambda \frac{t}{n}\) für große \(n\).

Setze diesen Ausdruck ein. Dann sollte der Grenzwert nicht mehr schwierig zu berechnen sein.

Comments

ich verstehe das mit den " \(\approx \) "  nicht, das kann man doch nicht einfach so sagen

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Wenn \(\frac{a}{b}=k\), dann sind die Größen \(a\) und \(b\) proportional zueinander mit dem Proportionalitätsfaktor \(k\). Dann gilt \(a=kb\).

Wenn jetzt \(\frac{F(t)}{t}=\lambda\) für \(t\to 0\), dann ist \(F(t)\) proportional zu \(t\) mit Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) für \(t\to 0\). Also gilt \(F(t)=\lambda t\) für \(t\to 0\). Das bedeutet dann für sehr kleine Argumente \(t\), dass \(F(t)\approx \lambda t\) annähernd proportional zu \(F(t)\) ist.

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Ok, ich verstehe. Also im Sinne dass |F(t) - tλ| beliebig klein wird für t gegen 0?

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Genau, wegen der Grenzwerteigenschaft.