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Sei (Xk)kN \left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} eine Folge unabhängig identisch verteilter reeller Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F F mit limt0F(t)t=λ>0 \lim \limits_{t \downarrow 0} \frac{F(t)}{t}=\lambda>0 und für nN n \in \mathbb{N} sei

Zn : =nmin(X1,,Xn). Z_{n}:=n \cdot \min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) .

Sei Fn F_{n} die Verteilungsfunktion von Zn Z_{n} . Berechnen Sie die den punktweisen Grenzwert der Verteilungsfunktionen für n n \rightarrow \infty , also bestimmen Sie für jedes tR t \in \mathbb{R} den Grenzwert limnFn(t) \lim \limits_{n \rightarrow \infty} F_{n}(t) .

Ich bin nun bis hier gekommen: F_n(t) = 1-(1-F(t/n))n
Und ich jetzt will ich den Grenzwert lim F_n(t) für n gegen unendlich ausrechnen. Aber hier komme ich nicht weiter, ich weiss nicht wo ich die Eigenschaft der Verteilungsfunktionen F anwenden kann.

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Ich ergänze mal eine "ehrliche" Berechnung des Grenzwertes.
limt0+F(t)=limt0+(F(t)tt)=λ0=0\displaystyle \lim_{t\to 0^+} F(t) = \lim_{t\to 0^+} \left(\frac{F(t)}{t}\cdot t\right)=\lambda\cdot 0 = 0

Damit ist also F(t)=0F(t) = 0 für t0t\leq 0 und FF ist stetig in t=0t=0.

Ein üblicherweise bekannter Grenzwert ist:
limx0(1x)1x=e1\displaystyle \lim_{x\to 0}(1-x)^{\frac 1x} = e^{-1}

Damit erhalten wir für t>0t> 0:

(1F(t/n))n=[((1F(t/n))1F(t/n))]F(t/n)t/ntn[(e1)]λt=eλt\displaystyle \left(1- F(t/n)\right)^n = \left[ \left( \left(1- F(t/n)\right)^{\frac{1}{F(t/n)}} \right) \right]^{\frac{F(t/n)}{t/n}\cdot t}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow} \left[(e^{-1})\right]^{\lambda t} = e^{-\lambda t}

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Wenn nn\to \infty, dann geht tn0\frac{t}{n}\to 0. Jetzt besagt die Grenzwerteigenschaft von FF, dass sich FF für kleine Funktionswerte proportional zu seinem Argument verhält, also F(t)λtF(t)\approx \lambda t für sehr kleine tt. Damit gilt F(tn)λtnF(\frac{t}{n})\approx \lambda \frac{t}{n} für große nn.

Setze diesen Ausdruck ein. Dann sollte der Grenzwert nicht mehr schwierig zu berechnen sein.

Avatar von 20 k

ich verstehe das mit den " \approx "  nicht, das kann man doch nicht einfach so sagen

Wenn ab=k\frac{a}{b}=k, dann sind die Größen aa und bb proportional zueinander mit dem Proportionalitätsfaktor kk. Dann gilt a=kba=kb.

Wenn jetzt F(t)t=λ\frac{F(t)}{t}=\lambda für t0t\to 0, dann ist F(t)F(t) proportional zu tt mit Proportionalitätsfaktor λ\lambda für t0t\to 0. Also gilt F(t)=λtF(t)=\lambda t für t0t\to 0. Das bedeutet dann für sehr kleine Argumente tt, dass F(t)λtF(t)\approx \lambda t annähernd proportional zu F(t)F(t) ist.

Ok, ich verstehe. Also im Sinne dass |F(t) - tλ| beliebig klein wird für t gegen 0?

Genau, wegen der Grenzwerteigenschaft.

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