Entscheiden Sie mit Begründung, welche der folgenden Aussagen von der obigen Aussage impliziert werden

Question

Aufgabe:

∀n ∈ N : ∃m ∈ N :
(n ≤ m < 2n) ∧ (m + 1 ∈ M)

Entscheiden Sie mit Begründung, welche der folgenden Aussagen von der obigen Aussage
impliziert werden:
(A) 1 ∈ M ∨ 2 ∈ M
(B) Die Menge M ist leer.
(C) ∃n ∈ N : n ∈ M

Problem/Ansatz:

Ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht weiter... Hat jemand eventuell ein Tipp und kann helfen? Wäre sehr nett :)

Answer 1

Hier helfen zunächst einmal Zahlenbeispiele. Wenn \(N=\mathbb{N}\), dann existiert für jede natürliche Zahl \(n\) eine natürliche Zahl \(m\) so, dass \(n\leq m< 2n\) gilt und das \(m+1\) dann in \(M\) enthalten ist. Für \(n=1\) ist das zum Beispiel die Zahl \(m=2\), denn \(1\leq 1<2\). Damit ist \(2\in M\). Für \(n=10\) existieren mehrere Zahlen, die \(10\leq m <20 \) erfüllen. Was folgt dann für die Elemente von \(M\)?

Comments

ahh okay also etwa so?

n=1
1=<m<2n => m=1
m+1=2 ∈M

weil hier hab ich ja beide aussagen bewiesen und gezeigt das 2 element aus M ist. Und ich brauche hier keine fallunterscheidung bei der verknüpfung oder?

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Genau. Die Aussage bei A lautet ja "oder". Da \(2\in M\) ist, folgt daraus also, dass Aussage A richtig ist. Damit wird A von der obigen Aussage impliziert.

Es muss \(1\leq m<2\) heißen. Achte auf so etwas, das ist in der Mathematik wichtig, genau und sauber zu arbeiten.

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okay, vielen danke!
kann man für (c) auch n=1 benutzen? weil die bedingungen von ∀n ∈ N : ∃m ∈ N :
(n ≤ m < 2n) ∧ (m + 1 ∈ M) werden erfüllt. die 1 ist ja dann aber nicht in M. also wäre diese implikation auch korrekt oder?

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Nein, Aussage C wird nicht impliziert. Denn die obige Aussage sagt ja nichts darüber aus, dass ein \(n\) existiert, welches auch in \(M\) liegt. Sie sagt nur, dass es ein \(m\) gibt, dessen Nachfolger in \(M\) liegt.

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oh okay vielen dank! aber wie kann ich dies jetzt "beweisen"? oder kann ich das einfach genau so erklären?

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Von einem Beweis steht da ja nichts. Du musst es nur begründen. Aussagen, die nicht gelten, lassen sich mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

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Aussage C wird nicht impliziert

Das sehe ich anders.

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Stimmt. Irgendwie hatte ich da einen Denkfehler. Ist ja auch ganz einfach: Wir haben ja schon festgestellt, dass die Menge \(M\) nicht leer ist. Also gibt es natürlich ein \(n\) aus \(N\), so dass dieses auch in \(M\) liegt.