Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die zweite und dritte Ampel grün sind.

Question

Aufgabe:

Ein Autofahrer passiert nacheinander 3 Ampeln auf einer Fahrt. Dabei beachtet er folgendes Verhalten. In etwa 1/4 der Fällen zeigen alle drei Ampeln grün, wenn er darauf zufährt. In 1/4 der Fälle ist die erste Ampel grün aber die anderen beiden rot, in 1/4 der Fälle ist die zweite Ampel grün und die anderen beiden rot und in 1/4 der Fälle ist die dritte Ampel grün und die ersten beiden rot.

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die zweite und dritte Ampel grün sind, wenn die erste Ampel bereits grün war.

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass man die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen muss, aber ich weiß nicht wie ich die Wahrscheinlichkeiten ansetzen soll. Über Hilfe würde ich mich freuen.

Answer 1

Es gibt hier nur zwei Möglichkeiten: Entweder ist nur die erste Ampel grün, dann sind die zweite und dritte Ampel nicht grün. Oder es sind alle drei Ampel grün. Ansonsten sind keine weitere Fälle möglich, wo die erste Ampel grün ist. Damit gilt also

\(P(\text{1. Ampel grün})=\ldots\)

Es gibt also keine Fälle, wo genau zwei Ampeln grün und eine Ampel rot ist.

Die zweite und dritte Ampel sind nur dann grün, wenn die erste Ampel auch grün ist. Das geht also nur, wenn alle drei Ampeln grün sind.

Damit ergibt sich

\(P(\text{2. und 3. Ampel grün}|\text{1. Ampel grün})=P(\text{alle Ampeln grün}|\text{1. Ampel grün})\).

Verwende die Definition für die bedingte Wahrscheinlichkeit.

Comments

Okay, vielen Dank.

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Zur Kontrolle: Das Ergebnis ist 0,5.

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Ja, das hab ich. :)

Answer 2

Ein Autofahrer passiert nacheinander 3 Ampeln auf einer Fahrt. Dabei beachtet er folgendes Verhalten. In etwa 1/4 der Fällen zeigen alle drei Ampeln grün, wenn er darauf zufährt. In 1/4 der Fälle ist die erste Ampel grün aber die anderen beiden rot, in 1/4 der Fälle ist die zweite Ampel grün und die anderen beiden rot und in 1/4 der Fälle ist die dritte Ampel grün und die ersten beiden rot.

P(ggg) = 1/4 ; P(grr) = 1/4 ; P(rgr) = 1/4 ; P(rrg) = 1/4

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die zweite und dritte Ampel grün sind, wenn die erste Ampel bereits grün war.

P(2. & 3. grün | erste grün) = P(ggg) / (P(ggg) + P(grr)) = 1/4 / (1/4 + 1/4) = 1/4 / (2/4) = 1/2