Zeige oder widerlege folgende Aussage.

Question

Aufgabe:

Sei $$ (\Omega, p)$$ ein Modell für ein diskretes Zufallsexperiment und $$A,B,C \subset \Omega$$ Ereignisse. Zeige oder widerlege folgende Aussage.

Es sei $$P(B) >0$$. Gilt $$P(A|B)=P(A|B^c)$$, so sind A und B unabhängig.

Problem/Ansatz:

Ein Ansatz wäre hilfvoll.

Comments

Entschuldigt die grausame Formatierung. Gerne kann jemand erklären wie man das hier mit LaTeX richtig macht.

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Verwende \( und \) für LaTeX im Inline-Modus. Dann setzt er die Formeln nicht ab und du hast nicht jedes Mal einen Absatz.

Welche Rolle soll denn \(C\) spielen? Das kommt doch in der Behauptung gar nicht vor.

Answer 1

Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

ebenso für \(B^C\) und setze die Ausdrücke gleich.

Nutze unter anderem die Eigenschaft des Gegenereignisses, dass \(P(A^C)=1-P(A)\) gilt und versuche dann, diese Gleichung auf die Form

\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)

zu bringen. Damit wäre die Unabhängigkeit von \(A\) und \(B\) gezeigt.