Sie werfen ein faires Tetraeder so lange, bis jede der 4 Augenzahlen mindestens einmal erschienen ist. Die Zufallsvariable \( Y \) zähle die Anzahl der Würfe, die Sie dafür benötigen. Wir modellieren Sie die Situation durch eine Folge von unabhängigen auf \( \{1,2,3,4\} \) gleichverteilten Zufallsvariablen \( X_{1}, X_{2}, \ldots \)
(i) Definieren Sie \( Y \) mithilfe der Zufallsvariablen \( X_{1}, \ldots \)
(ii) Beschreiben Sie die Verteilung von \( Y \), d.h. \( \mathbb{P}_{Y} \), mittels Angabe der Zähldichte.
(iii) Sei für \( i=1,2,3,4 \) die Zufallsvariable \( Y_{i} \) die Wartezeit, zwischen \( i-1 \) und \( i \) verschiedenen Augenzahlen. Definieren Sie \( Y_{i} \).
(iv) Bestimmen Sie die Verteilung von \( Y_{i} \).
Problem/Ansatz: Bei (i) definiere ich Y = min( n aus N : {\( X_{1}, X_{2}, \ldots \)} = {1,2,3,4})
Nun weiss ich bei (ii) nicht weiter, ich möchte ja P(Y = n) berechnen, aber ich weiß nicht wie ich da jetzt weiter vorgehe, denn der Ereignisraum müsste hier ja aus unendlichen Folgen bestehen, wie soll ich denn dann die Wahrscheinlichkeit berechnen, es müsste ja sein P(Y = 4) + P(Y = 5) + ..... = 1 aber was sollen, dann die einzelnen P(Y = n) sein. Das einzige was mir einfällt ist irgendwas mit der geometrischen Verteilung zu machen, denn die ist so ähnlich definiert wie ich hier Y defniert habe, aber eine wirkliche Verbindung sehe ich da auch nicht.
