Beweis mittels vollständiger Induktion - Teilbarkeit

Question

Aufgabe:

Beweise mittels vollständiger Induktion, dass:

n*(n+1)*(2n+1) durch 6 teilbar ist, für alle n größergleich 1

Problem/Ansatz:

Hätte jemand eine Idee? Habe leider keine Ahnung, wie ich da auf die Induktionsvoraussetzung komme.

Comments

Rechne nach, dass \((n+1)(n+2)(2n+3)-n(n+1)(2n+1)=6(n+1)^2\) ist.

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Wieso darf ich hier vom neuen Ausdruck die IV abziehen?

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Nach Induktionsvoraussetzung ist \(n(n+1)(2n+1)\) durch \(6\) teilbar.
Und \(6(n+1)^2\) ist offensichtlich durch \(6\) teilbar.

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Das verstehe ich. Ich verstehe nur nicht, wieso ich von (n+1) * (n+2) * (2n+3) die IV abziehen darf. Ich ändere ja den Ausdruck dadurch.

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Stelle wie folgt um:
\((n+1)(n+2)(2n+3)=6(n+1)^2+n(n+1)(2n+1)\).
Die rechte Seite ist durch \(6\) teilbar, also auch die linke.

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Ich habe heute scheinbar schon zu viel gelernt, ich komme leider nicht darauf .

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Bin jetzt draufgekommen! Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen ist, dass der folgende Ausdruck durch \(6\) teilbar ist.$$A(n)\coloneqq n(n+1)(2n+1)\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Wir führen den Beweis über vollständige Induktion.

Verankerung bei \(n=1\):$$A(1)=1\cdot2\cdot3=6\quad\text{ist durch \(6\) teilbar}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \(n+1\):$$A(\pink{n+1})=(\pink{n+1})\,(\pink{n+1}+1)\,(2(\pink{n+1})+1)$$$$\phantom{A(n+1)}=(n+1)\cdot(n+2)\,(2n+3)$$$$\phantom{A(\pink{n+1})}=(n+1)\cdot(2n^2+\green{7n}+6)$$$$\phantom{A(\pink{n+1})}=\red{(n+1)}\cdot(\;(2n^2+\green{n})+(\green{6n}+6)\;)$$$$\phantom{A(\pink{n+1})}=\red{(n+1)}\cdot(2n^2+\green n)+\red{(n+1)}\cdot(\green{6n}+6)$$$$\phantom{A(n+1)}=(n+1)\cdot n(2n+1)+(n+1)\cdot6(n+1)$$$$\phantom{A(n+1)}=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2$$$$\phantom{A(n+1)}=A(n)+6(n+1)^2\quad\checkmark$$\(A(n)\) ist laut Indukutionsvoraussetzung durch \(6\) teilbar und der zweite Summand ist offensichtlich durch \(6\) teilbar.

Answer 2

Wichtig: Nicht alles ausmultiplizieren.

Der Term aus der Ind.Beh. hat ja den Faktor (n+1), den behalte (der steht ja auch in der Ind.Vor.). Dann betrachte den Rest, ziehe n(2n+1) raus und schau, was da noch steht. Hoffentlich was durch 6 teilbares.

Comments

also: dann habe ich (n+1) * (n+2) * (2*(n+1)+1). Wie darf ich hier n*(2n+1) herausziehen?