Zu lösen ist die Aufgabe $$u_t (x,t)+2u_x (x,t)=u_{xx} (x,t) \text{ } \forall t \gt0,\text{ } x \in \mathbb {R} \text{ sodass } u(x,0)=sinx \text{ } \forall x \in \mathbb{R}$$
Ich habe schon mal mit Laplace-Transformationenn angefangen und bin so auf $$ \tilde{u}_{xx}-2\tilde{u}_x-s\tilde{u}=-sinx$$ gekommen und habe also als $$u_h= c_1 e^{(1+\sqrt{1+s})x}+c_2e^{(1-\sqrt{1+s})x}.$$ Jetzt hänge ich am partikulären Teil irgendwie fest. Als Ansatz habe ich $$\tilde{u}_p=A(s)cosx+B(s)sinx$$ und komme damit auf $$A(s)= -\frac{s+2}{s^2-5} \text{ und } B(s)= \frac{1}{s^2-5}$$
Dann fallen ja die e-Terme weg (also c1 und c2 sind 0) und übrig bleibt $$\tilde{u}(x,s)=\frac{cosx-(2+s)sinx}{s^2-5}.$$ Wenn ich das mit Laplace-Inversen transformiere komme ich auf $$u(x,t)=(\frac{sinh(\sqrt{5}t}{\sqrt{5}})(-2sinx+cosx)-sinxcosh(\sqrt{5}t)$$
Das löst auch u(x,0)=sinx, aber wenn ich es in die PDG einsetze, löst es eben nicht $$u_t (x,t)+2u_x (x,t)=u_{xx}.$$ Kann mir evtl. jemand sagen, an welcher Stelle mein Fehler liegt? Bin für jeden Tipp dankbar :)
