Gleichung mit Logarithmus nach X

Question

Aufgabe:

Wie löst man dieses Gleichungssystem

\(\displaystyle \frac{\log (3)}{\log (2)}=\frac{3 x+5}{5 x-3} \)

Problem/Ansatz:

Kann man es durch umstellen oder Logarithmengesetze schaffen x herauszufinden oder sollte man einfach die Werte ausrechnen.

Comments

Wie löst man dieses Gleichungssystem

Es ist nur eine Gleichung.

Answer 1

Hier reicht einfaches Umstellen. Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite. Den Logarithmusausdruck berechnest du ganz zum Schluss.

Answer 2

\( \frac{\log (3)}{\log (2)}=\frac{3 x+5}{5 x-3} \)

 \( \log (3)\cdot (5 x-3) =(3 x+5) \cdot  \log (2) \)
\( \log (3)\cdot 5 x-\log (3)\cdot 3= \log (2)\cdot 3 x+\log (2)\cdot 5  \)

\( \log (3)\cdot 5 x -\log (2)\cdot 3 x=\log (2)\cdot 5 +\log (3)\cdot 3 \)
\(  x[\log (3)\cdot 5 -\log (2)\cdot 3] =\log (2)\cdot 5 +\log (3)\cdot 3 \)
\(  x=\frac{\log (2)\cdot 5 +\log (3)\cdot 3 }{\log (3)\cdot 5 -\log (2)\cdot 3}\)

Answer 3

$$z = \frac{\log(3)}{\log(2)} \newline \frac{3x + 5}{5x - 3} = z \newline 3x + 5 = z(5x - 3) \newline 3x + 5 = 5zx - 3z \newline 5zx - 3x = 3z + 5 \newline (5z - 3)x = 3z + 5 \newline x = \frac{3z + 5}{5z - 3} \newline x = \frac{3 \cdot \frac{\log(3)}{\log(2)} + 5}{5 \cdot\frac{\log(3)}{\log(2)} - 3} \newline x = \frac{3 \cdot \log(3) + 5 \cdot \log(2)}{5 \cdot \log(3) - 3 \cdot \log(2)}$$

Comments

Danke genau das meinte ich. Ich war mir nur nicht sicher wie man es nach x umstellen sollte.

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log kann stehen für ln (z.B. bei wolframalpha) oder log mit Basis 10 (auf manchen TR auch als lg dagestellt)

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log kann stehen für ...

Die Basis ist hier wurst und ändert nichts am Bruch:

\( \displaystyle \frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(2)}  =\frac{\hspace{0.3cm}\Large\frac{\ln (3)}{\ln (10)}\hspace{0.3cm}}{\Large\frac{\ln (2)}{\ln (10)}}  = \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \)

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Die Basis ist hier wurst und ändert nichts am Bruch:

Darum geht es mir nicht und hat niemand bestritten.

Dieses log-Problem tritt öfter auf. Es war als Hinweis gedacht. Falls eine gerundete Zahl als Ergebnis verlangt ist, ist das relevant.

Zusatz-Info, was ich so nicht wusste, du wohl schon:

„Ist mir wurscht“, zum Beispiel, wobei es wurst ist, ob man wurst oder wurscht schreibt, weil es ausgesprochen immer wurscht ist.

Answer 4

$$ \begin{aligned} \frac{\log (3)}{\log (2)} &= \frac{3 x+5}{5 x-3} \quad\vert\quad \cdot \frac{5}{3}\\[1.5em] \frac{5\cdot\log (3)}{3\cdot\log (2)} &= \frac{15x+25}{15x-9} \quad\vert\quad \textrm{korr. Subtr.}\\[1.5em] \frac{5\cdot\log (3)}{3\cdot\log (2) - 5\cdot\log (3)} &= \frac{15x+25}{-34} \quad\vert\quad \cdot(-34)\\[1.5em] \frac{5\cdot 34\cdot\log (3)}{5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)} &= 15x+25 \quad\vert\quad -25 \\[1.5em] \frac{5\cdot 34\cdot\log (3)}{5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)} - 25 &= 15x \quad\vert\quad :15 \\[1.5em] \frac{34\cdot\log (3)}{3\cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)} - \frac{5}{3} &= x \\[1.5em] \frac{34\cdot\log (3)-5 \cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)}{3\cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)} &= x \\[1.5em] \frac{9\cdot\log (3) + 15\cdot\log (2)}{3\cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)} &= x \\[1.5em] \frac{3\cdot\log (3) + 5\cdot\log (2)}{5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)} &= x \\[1.5em] \end{aligned} $$