Weisen Sie nach, dass folgendes gilt

Question

Aufgabe:

(Rechenregeln Summen- und Produktzeichen) Weisen Sie nach, dass das Folgende gilt:

\( \prod \limits_{k=m}^{n}\left(a_{k}\right)^{\lambda}=\left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda} \text { für alle } m, n, a_{i}, \lambda \in \mathbb{N} \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei dieser Beweis Aufgabe helfen ?

Answer 1

Was ist denn Dein konkretes Problem?
Probleme mit Summen- und Produktzeichen lösen sich oft schnell, wenn man diese ausschreibt als das, was sie sind. Es ist ja nur ein Abkürzungssymbol, \(\prod\limits_{i=1}^n x_i=x_1\cdot x_2\cdot \; \cdot x_n\). Das ist hier genauso.

Mach das und denke an Potenzrechenregeln.

Comments

Verstehe in allgemeinen nicht was ich machen soll

Könntest du mir die einzelnen Schritte zeigen

---

Ich habe Dir den ersten Schritt genannt. Schreib das Produkt links aus. Was erhältst Du?

---

Text erkannt:

Linke Seite
\( \prod \limits_{k=m}^{N}\left(a_{k}\right)^{\lambda}=\left(a_{m}\right)^{\lambda} \cdot\left(a_{m+1}\right)^{\lambda} \ldots\left(a_{n}\right)^{\lambda} \)

Das ist ein Produlat von \( n \cdot m+1 \) Termen, wobei Jeder Yerm die Form lan) hat

So?

---

Gut, geht doch!

Und jetzt mit der rechten Seite. Und dann vergleiche mal.

Wenn Dich die Indices verwirren, kannst Du mal links als Muster mal

\(a^\lambda\cdot b^\lambda\cdot c^\lambda\) schreiben, analog auf der rechten Seite.

---

Text erkannt:

Rechte Seite
\( \prod \limits_{k=m}^{n} a_{4}=a_{m} \cdot a_{m}+1 \ldots a_{n} \)

Dies wird dann mit der Potenz \( \lambda \) verseher:
\( \left(\prod \limits_{k-m}^{n} a k\right)=\left(a_{m} \cdot a_{m+1} \ldots \ldots a_{n}\right)^{\lambda} \)

Meinst du so?

---

Ja, genau. Du kannst das doch, trau Dich mal.

Und rechts würde im Muster dann \((a\cdot b\cdot c)^\lambda\) stehen. Und wenn Du vergleichst?

---

Text erkannt:

Vergleidn
\( \left(x_{1} \cdot x_{2} \ldots x_{1}\right)^{\lambda}=x_{1}^{\lambda} \cdot x_{i}^{\lambda} \ldots \ldots x_{1}^{\lambda} \)

Wir werden dises Regel arf die Reabte Sette an
\( \left.\left(a_{m} \cdot a_{m+1} \ldots a_{n} \lambda^{\lambda}=\left(a_{m}\right)\right\rangle \cdot\left(a_{m+1}\right)\right\rangle \cdot \ldots\left(a_{n} \lambda!\right. \)

Nun setern wir die Rechte Seite an
\( \left(a_{m} \cdot a_{m+1} \cdot \ldots \cdot a_{n}\right)^{\lambda}=\left(a_{m}\right)^{\lambda} \cdot\left(a_{m+1}\right)^{\lambda} \cdot \ldots \cdot\left(a_{n}\right)^{\lambda} \)
gleich wie links
\( \prod \limits_{n=m}^{n}\left(a_{n}\right)^{\lambda}=\left(a_{m}\right)^{\lambda} \cdot\left(a_{m}+1\right)^{\lambda} \ldots 0_{0} \cdot\left(a_{n}\right)^{\lambda} \)

Damit sind beide Saiten gleich

Ich hoffe ich hab es richtig gemacht

---

Gut. Schreib ganz oben noch drüber "laut Potenzrechenregel gilt:" Der Rest ist gut.

---

@nudger Nein! Er soll doch die Potenzregel beweisen…

---

Da es hier eher um die Rechenregeln bzgl. des Produkt- bzw. Summenzeichens geht, denke ich, dass man die ganz normalen Potenzgesetze auch nutzen darf.

---

Es gibt wie oft mehrere richtige Lösungen, üblicherweise favorisiert man die einfachste. Du kannst das so abgeben wie Du's oben geschrieben hast.

Answer 2

Das beruht doch nur auf folgendem Potenzgesetz oder sehe ich das falsch?

a^n·b^n = (a·b)^n

Also

a_m^{λ}·...·a_n^{λ} = (a_m·...·a_n)^{λ}

Comments

Ich weiß es leider nicht

---

am^λ·...·an^λ = (am·...·an)^λ

Ganz schlechte Notation ...

Answer 3

Beweise a^λ b^λ = (ab)^λ für alle λ ∈ |N, wähle dann o.B.d.A. m = 1 und folgere die ursprüngliche allgemeine Gleichheit mit Induktion nach n. Dann bist du fertig und hast die Gleichheit allgemein bewiesen.

Tipp: Um a^λ b^λ = (ab)^λ für alle λ ∈ |N kannst du auch eine Induktion nach λ machen.

Answer 4

Ich würde hier eine Induktion über \(\lambda\) vorschlagen.

Seltsam finde ich, dass man die Identität für alle \(m,n,a_i,\lambda \in \mathbb N\) zeigen soll.

Also schließen wir erst einmal alle uninteressanten Fälle aus:

Fall \(n<m\):

In diesem Fall spricht man vom leeren Produkt und setzt es einfach gleich 1 \(\Rightarrow\) nichts zu zeigen.

Fall \(n\geq m\):

IDie natürliche Potenz einer Zahl \(x\) ist induktiv definiert:

Für \(l \in \mathbb N\) wird gesetzt: \(x^1 := x\) und \(x^{l+1} := x^l\cdot x\).

Das benutzen wir jetzt für den Induktionsbeweis:

Induktionsanfang \(\lambda = 1\):

\( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k}^{1}= \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k} = \left( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k} \right)^1\)

Induktionsvorausetzung (IV) - Für ein \(\lambda \in \mathbb N\) gilt:

\( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k}^{\lambda}=\left( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k} \right)^{\lambda}\)

Induktionschritt:

\( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k}^{\lambda+1}= \prod \limits_{k=m}^{n} (a_{k}^{\lambda}\cdot a_k)= \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k}^{\lambda}\cdot \prod\limits_{k=m}^{n}a_k\stackrel{IV}{=}\left( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k} \right)^{\lambda}\cdot \prod\limits_{k=m}^{n}a_k = \left( \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k} \right)^{\lambda+1}\)

Comments

hab mir jetzt nochmals deins angeguckt und weiß jetzt nicht welche Lösung ich abgeben soll da deins auch richtig ist

was würdest du mir empfehlen?

---

Für \(l \in \mathbb N\) wird gesetzt: \(x^1 := x\) und \(x^{l+1} := x^l\cdot x\).

dieser schritt ist bei mir im skript drin

---

Darf man folgende Umformung einfach verwenden? Natürlich ist sie offensichtlich wahr, aber geht es nicht gerade darum, das zu beweisen, dass man ein Produktzeichen als Produkt von Produktzeichen schreiben darf?

$$\prod \limits_{k=m}^{n} (a_{k}^{\lambda}\cdot a_k)= \prod \limits_{k=m}^{n}a_{k}^{\lambda}\cdot \prod\limits_{k=m}^{n}a_k$$

Du setzt hier voraus, dass man das Produkt aus einem Produkt mit 2 Faktoren als das Produkt von 2 Produkten schreiben kann.

Wir setzen voraus, dass man das Produkt aus einem Produkt mit n Faktoren als das Produkt von n Produkten schreiben kann.

$$ \prod \limits_{k=1}^{n} a_{k} \cdot b_{k} \cdot c_{k} \ldots=\left(\prod \limits_{k=1}^{n} a_{k}\right)\left(\prod \limits_{k=1}^{n} b_{k}\right)\left(\prod \limits_{k=1}^{n} c_{k}\right) \ldots $$

---

@Mathecoach
Wir wissen natürlich nicht, wie im Skript des OPs vorgegangen wird.

Aber üblicherweise definiert man das Produkt \(\prod_{k=1}^n a_k\) ebenfalls induktiv.

Das setzt aber voraus, dass man vorher schon per Assoziativität gezeigt hat, dass es egal ist, wie man Klammern setzt. Denn erst dann ist das Produkt \(\prod_{k=1}^n a_k\) auch wohldefiniert.

---

Text erkannt:

2u aeigen gilt:
\( \prod \limits_{k=m}^{n}\left(a_{k}\right)^{\lambda}=\left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda} \text { für alle } n, n, a_{i} \lambda \in \mathbb{N} \)

Definition 1.4.11 Seien \( m, n \in \mathbb{N} \). Falls \( n \geq m \) seien außerdem \( a_{m}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{N} \).
- Wir definieren
\( \sum \limits_{k=m}^{n} a_{k}:=\left\{\begin{array}{ll} 0, & n<m \\ a_{n}+\sum \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}, & n \geq m \end{array}\right. \)
1. Fall \( n<m \)

So folgt aus der Definition:
linke Seite: \( \prod \limits_{k=m}^{n}\left(a_{k}\right)^{\lambda}=1 \)
rechte Seite: \( \left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda}=1^{\lambda}=1 \).
\( \Rightarrow \) Beide Seiten Stimmen überein
2. Fall \( n \geq m \)

So folgt aus der Definition:
Linke Seite: \( \prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}{ }^{\lambda}=a_{n}{ }^{\lambda} \cdot \prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}{ }^{\lambda} \)
nun verwenden wir die Induktionsvoraussetzung an:
\( \prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}^{\lambda}=\left(\prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}\right)^{\lambda} \)

Damit erhalten wir:
\( \prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}^{\lambda}=a_{n}^{\lambda} \cdot\left(\prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}\right)^{\lambda} \)

Text erkannt:

rechte Seite: \( \left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda}=\left(a_{n} \cdot \prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}\right)^{\lambda} \)
Potenaregel für Produbte anwenden
\( \left(a_{n} \cdot \prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}\right)^{\lambda}=a_{n}^{\lambda} \cdot\left(\prod \limits_{k=m}^{n-1} a_{k}\right)^{\lambda} \)
\( \Rightarrow \) Beide Seiten stimmen überein
\( \Rightarrow \) Beginn mit der Produlatdefinition
1. Induktionsanfang: \( (n=m) \)

Angenommen es gilt \( n=m \) dann folgt die Produktdefinition linke Seite: \( \prod \limits_{k=m}^{m} a_{k}^{\lambda}=a_{m}^{\lambda} \)
rechte seite: \( \left(\prod \limits_{k=m}^{m} a_{k}\right)^{\lambda}=\left(a_{m}\right)^{\lambda} \)
\( \Rightarrow \) Da beide Seiten identisch sind, gilt die Gleicheng för \( n=m \)
2. Induktions voraussetzung

Angenommen die Aussage gilt for ein beliebiges \( n \geq m \) auch:
\( \prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}^{\lambda}=\left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda} \)

Text erkannt:

3. Induktionsschritt \( (n \rightarrow n+1) \)

Nun zeigen wir die Aussage för \( n+1 \)
linke Seite: \( \prod \limits_{k=m}^{n+1} a_{k}^{\lambda}=a_{n+1}^{\lambda} \cdot \prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}^{\lambda} \)
Durch einsetaen ergibt \( \Rightarrow \quad \prod \limits_{k=m}^{n+1} a_{k}^{\lambda}=a_{n+1}^{\lambda} \cdot\left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda} \)
rechte Seite: \( \left(\prod \limits_{k=m}^{n+1} a_{k}\right)^{\lambda}=\left(a_{n+1} \cdot \prod \limits_{k \cdot m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda} \)
\( \Rightarrow \) Beide Seiten identisch, somit gilt
\( \prod \limits_{k=m}^{n}\left(a_{k}\right)^{\lambda}=\left(\prod \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right)^{\lambda} \text { for alle } m, n, a_{i}, \lambda \in \mathbb{N} \text {. } \)

Würde das so auch richtig sein ?