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Aufgabe:

Sei q[0,1) q \in[0,1) . Zeigen Sie, dass für alle nN0 n \in \mathbb{N}_{0} die Ungleichung qn1(n+1)(1q) q^{n} \leq \frac{1}{(n+1)(1-q)} gilt. Tipp: Verwenden Sie die geo. Summenformel


Problem/Ansatz:

Ich habe seit Tagen so viele Ansätze, aber nichts stellt mich zufrieden

Mein bester Ansatz war der Induktionsbeweis und zum Ende kriegt man folgendes raus:

q kleiner gleich n+1/n+2. Aber das deckt ja nicht ab was kleiner 2/3 wäre bei q, wenn n=1...

Und dann noch folgendes Problem: (siehe geogebra)

Wie soll das überhaupt Sinn ergeben? q hoch n ist doch eindeutig größer

Screenshot 2024-12-01 123323.png

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Versuchs in der Grafik mal mit 1-q im Nenner

Oh je danke dir, das habe ich übersehen!

2 Antworten

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Die Ungleichung lautet: qn ≤ 1/((n + 1)·(1 - q))

Du hast aus dem 1 - q ein q - 1 gemacht.

Weiterhin ist der Tipp mit der geometrischen Summenformel gegeben.

∑ (k = 0 bis n) (qk) = (1 - q^(n + 1))/(1 - q)

Wir machen die rechte Seite größer

∑ (k = 0 bis n) (qk) ≤ 1/(1 - q)

q0 + q1 + q2 + ... + qn ≤ 1/(1 - q)

Auf der linken Seite haben wir n + 1 Summanden die streng monoton fallend sind. Wenn wir die rechte Seite durch (n + 1) teilen erhalten wir etwas größeres als den Mittelwert der Summanden. Und dieser Wert ist natürlich auch größer als der kleinste der Summanden auf der linken Seite.

qn ≤ 1/((n + 1)(1 - q))

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Die beste Idee ist normalerweise dem Hinweis zu folgen.

Benutze die geom. Reihe, Anfang: 11q=...\frac1{1-q}=... , schätze danach nach unten ab, indem Du die Reihe bei nn abschneidest, dann überleg Dir was für die Summanden (Ziel im Auge behalten).

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