\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} i} = \frac{2n}{n + 1} \)
Vielleicht hattet ihr ja schon (oder beweise das leicht durch vollst. Ind.
\( \sum_{i=1}^{k} i = \frac{ k \cdot (k+1) }{2} \)
Damit gilt dann
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} i} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k \cdot (k+1)} \)
Das geht mit der Idee der Teleskopsummen:
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k \cdot (k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{k }-\frac{2}{k+1} ) \)
\( = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k }- \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k+1} \)
Diese beiden Summen haben fast die gleichen Summanden, die sich durch
die Subtraktion gegenseitig aufheben, es bleibt nur von der 1. Summe der
erste und von der 2. Summe der letzte, also gibt das
\( = \frac{2}{1 } - \frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1} \) q.e.d.
