Halte dein k fest und führe über n die Induktiond durch. Dann ist der Induktionsanfang für n=2 offensichtlich erfüllt (kannst du einfach nachrechnen).
Für den Induktionsschritt hälst du wieder dein k fest und setzt ein beliebiges aber festes n voraus, sodass diese Abschätzung gelte.
Und dann fängst du an, von unten nach oben abzuschätzen, d.h so fängst du an:
$$ \sum_{j=1}^n j^k =\Bigg(\sum_{j=1}^{n-1} j^k \Bigg)+n^k \stackrel{(IV)}{<} \underline{\frac{n^{k+1}}{k+1}+n^k }= ... < \frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} $$
Forme den unterstrichenen Ausdruck mal etwas um und versuch dann mit dem Binomischen Lehrsatz die Abschätzung $$ (n+1)^{k+1}> n^{k+1}+(k+1)n^k$$ hinzubekommen.