Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Beweis

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

(i) habe ich bereits gezeigt. Kann mir jemand bei ii) helfen?

Comments

https://groups.uni-paderborn.de/reiss/AnalyseBuch/Analysis/EigenschaftenVonFunktionen/grenzwertregeln.html?i=index

Answer 1

Führe eine partielle Integration mit der gängigen Definition des Erwartungswertes durch. Wähle dazu als Stammfunktion von \(f\) die Funktion \(-(1-F(x))\) (warum ist das möglich?). Verwende dann das Resultat aus (i), um zu zeigen, dass das gewünschte Integral übrigbleibt.

Comments

ist nicht \(\int_0^{\infty}1dx=\infty\)? Wie soll da eine Nulladdition aussehen?

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Ja, da hatte ich einen Denkfehler. Eine Nulladdition ist gar nicht notwendig, wenn man direkt eine geeignete Stammfunktion von \(f\) wählt.

Answer 2

Alternativer Beweis ohne Stetigkeit der Dichtefunktion:

Verwende den Satz von Fubini:

$$E(X)=\int_0^{\infty} dx\;xf(x)=\int_0^{\infty} dx\;\int_0^x ds\;f(x)\\\quad=\int_0^{\infty} ds\;\int_s^{\infty} dx\;f(x)=\int_0^{\infty} ds\;(1-F(s))$$