Bestimmen Sie die Lösung von A \vec{x}=\vec{b} in der Form \vec{x}=\vec{x}_{0}+\lambda_{1} …

Question

Kann mir einer sagen, wie der Professor auf die Werte von u1,u2 und u3 gekommen ist?

Das ist die Aufgabe b

Text erkannt:

Aufgabe 1. Gegeben sei
\( A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & -1 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 0 & 12 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 8 & 3 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) \)
a) Prüfen Sie, ob \( \vec{v}=(-1,1,3,1,-2)^{\top} \) und \( \vec{w}=(0,2,-1,-1,2)^{\top} \) Lösungen von \( A \vec{x}=\vec{b} \) sind.
b) Bestimmen Sie die Lösung von \( A \vec{x}=\vec{b} \) in der Form \( \vec{x}=\vec{x}_{0}+\lambda_{1} \vec{u}_{1}+\cdots+\lambda_{k} \vec{u}_{k} \), wobei \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k} \) die freien Parameter sind. Rechnen Sie explizit nach, dass \( u_{1}, \ldots, u_{k} \in \operatorname{Kern} A \) ist.

Text erkannt:

6.) \( A=\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 0 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 8 & 3 & 1\end{array}\right)_{-I} \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & -2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \cdot \frac{1}{2} \)
\( \sim\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 \\ 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \quad \) Rang \( A=2 \Rightarrow 5-2=3 \) frie Parometer Wähle \( x_{2}=h_{1}, x_{4}=K_{2}, x_{5}=K_{3} \)
2. Zile: \( x_{3}+2 x_{4}+x_{5}=-1 \Leftrightarrow x_{3}+2 x_{2}+k_{3}=-1 \Leftrightarrow x_{3}=-1-2 k_{2}-x_{3} \)
1. Zeile: \( x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}+x_{5}=3 \Leftrightarrow x_{1}+2 x_{1}-\left(-1-2 x_{2}-k_{3}\right)+4 x_{2}+x_{3}=3 \) \( \Leftrightarrow x_{1}+2 x_{1}+1+2 x_{2}+k_{3}+4 x_{2}+x_{3}=3 \)
\( \Leftrightarrow x_{1}=2-2 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3} \)
\( \Leftrightarrow x_{1}=2-2 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3} \)
\( \vec{U} \) zeigen: \( \vec{u}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} \in \operatorname{Kem} A_{1} \) d.h. \( A \vec{v}_{i}=0 \) für \( i=1,2,3 \)
\( A \vec{u}_{1}=\left(\begin{array}{l} -2+2 \\ -4+4 \\ -2+2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad A \vec{U}_{2}=\left(\begin{array}{l} -6+2+4 \\ -12+0+12 \\ -6-2+8 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), A \vec{u}_{3}=\left(\begin{array}{l} -2+1+1 \\ -4+0+4 \\ -2-1+3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Comments

Lies das in blau. Was ist daran genau unklar?

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Ja wie kommt sie z.B. bei u1 -2+2, -4+4, -2+2, hab grad einen Denkfehler :(

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Das ist nur eine Matrix-Vektormultiplikation. Rechne \(A\cdot u_1\).

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Ich komme immer noch nicht auf die Zahlen, wenn ich die Matrix A * u multipliziere komme ich bei der ersten Zeile auf 2+1

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Es ist doch \(1\cdot (-2) + 2\cdot 1\) ...

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \\ 1 \cdot(-2)+(-1) \cdot 1+2 \cdot 0+0 \cdot 0+1 \cdot 0 \\ =-2-1 \\ =-3\end{array} \)

aber ich komme auf das

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Ahhh hab den Fehler gefunden, hab die ganze Zeit die falsche Matrix genommen, vielen Dank!! Bin jetzt glücklich :,,)

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Ich wollt doch schon sagen... Schön, dass du es bemerkt hast.

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Ich wollte fragen, woran erkennt man welche freien Parameter man benötigt? Zum Beispiel woher weiß ich, dass x^4 und x^3 meine freien Parameter sein sollen? Gibt es da so einen Trick?

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Es bleibt dir überlassen, welche Parameter du frei wählst.

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wäre das so richtig?

Text erkannt:

Bonusaufgabe
a.)
\( \begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 \end{array}\right) \quad, \quad \vec{C}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) \\ A \vec{x}=\vec{c} \\ \left.\left.\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 & 4 \end{array}\right)\right]+(-1) \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 & 4 \end{array}\right)\right]+(-2) \\ \left.\left.\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 & 4 \end{array}\right)\right]+(-1) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 1 & 5 & 3 \end{array}\right)\right]+(-1) \\ \left.\left.\sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 1 & 5 & 3 \end{array}\right){ }_{C}\right]+\left(-\frac{1}{2}\right) \quad \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 6 & 3 \end{array}\right) c\right]+(3) \end{array} \)
\( \sim\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad \begin{array}{l}\text { Rang } A=3 \Rightarrow 5-3=2 \text { froble } x_{4}=\lambda_{1}, x_{5}=\lambda_{2}\end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { III. } x_{3}+x_{4}-2 x_{5}=-1 \\ \Leftrightarrow x_{3}-2 x_{2}=-1 \quad \mid+2 x_{2} \\ \Leftrightarrow \quad x_{3}=2 x_{2}-1 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { II. } 2 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}-2 x_{5}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}-2 \cdot\left(2 x_{2}-1\right)+2 \cdot h_{1}-2 \cdot l_{2}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}-4 l_{2}+2+2 l_{1}-2 l_{2}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}-6 K_{2}+2+2 K_{1}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}=-2 k_{1}+6 k_{2}-2 \quad 1: 2 \\ \Leftrightarrow x_{2}=-K_{1}+3 K_{2}-1 \end{array} \)
\( \begin{aligned} & I x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}-1 \cdot\left(-K_{1}+3 K_{2}-1\right)+2 \cdot\left(2 K_{2}-1\right)+0+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+K_{1}-3 K_{2}+1+4-2+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}-2 K_{2}+K_{1}+3=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}=2 K_{2}-K_{1}-3 \end{aligned} \)

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Schaut gut aus.

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danke, hab gemerkt dass ich bei zeile 1 einem fehler gemacht habe

Text erkannt:

\( \begin{aligned} & \text { I. } x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}-1 \cdot\left(-x_{1}+3 K_{2}-1\right)+2 \cdot\left(2 K_{2}-1\right)+0+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+K_{1}-3 k_{2}+1+4 k_{2}-2+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+K_{1}+2 K_{2}-1=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}=-K_{1}-2 x_{2}+2\end{aligned} \)

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Stimmt. Und \(x_4\) kommt ja gar nicht vor. Das solltest du dann von Anfang an weglassen.

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Ich habe ausversehen meine Matrikelnummer mit veröffentlicht, kann die Antwort gelöscht werden bitte? :,(