Die invertierbaren Elemente von R[X] sind die invertierbaren Elemente von R.

Question

Aufgabe:

Sei \( R \) ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1 . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Für alle \( P, Q \in R[X] \backslash\{0\} \) gilt
\( \operatorname{deg}(P Q)=\operatorname{deg} P+\operatorname{deg} Q \)

Insbesondere ist der Polynomring \( R[X] \) auch ein nullteilerfreier Ring.

(b) Die invertierbaren Elemente von \( R[X] \) sind die invertierbaren Elemente von \( R \).

Comments

Da sind zwei Aufgaben. Bei welcher hast du Probleme? Was hast du schon versucht?

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Bei der a) habe ich beide Polynome auf der rechten Seite ausgeschrieben und dann als Summe zusammengefasst:
P(X) = a_nXⁿ + ... + a₀ und Q(X) = b_mX^m +...+b₀
Jetzt wollte ich das Produkt auf der linken Seite auch als Summe schreiben, weiß aber noch nicht wie.

Bei der b) dachte ich, ich nutze ich die 1. Also nehme ich mir ein u aus R, das invertierbar ist und zu dem dann ein v existiert mit uv=1. Für u ∈ R[X] ist dann u[X]v[X] = 1 mit v(X) ∈ R[x]. Dann ist u[x] invertierbar in R[x] aber das wäre nur eine Richtung oder?

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Zur a): Wie ist denn Multiplikation von Polynomen definiert?

Zur b): Die Einheiten (invertierbaren Elemente) von \(R[X]\) von Grad \(0\) sind also genau die Einheiten von \(R\), das hast du jetzt herausgefunden. Kann es Einheiten von \(R[X]\) von Grad \(>0\) geben (nutze die a))?

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a) Eine summe von i=0 bis n+m? Dann mit c_iXⁱ
Und was ist mit dem zweiten Teil der a), der nullteilerfreie Ring?

b) Also wenn ich weiß, dass deg(P⋅Q)=deg(P)+deg(Q) gilt, dann kann es Einheiten von R[X] mit Grad > 0 nicht geben.
zB deg(P)>0 bedeutet, dass deg (P) + deg (Q) > 0 aber es muss deg(P)+deg(Q)=0 

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a) Also irgendwie druckst du dich herum den relevanten Part hinzuschreiben, nämlich wie genau man eigentlich Polynome multipliziert. Wie genau sehen die \(c_i\) denn aus? Ich helfe dir auf die Sprünge falls die Formel eine Lücke für dich ist:

$$P\cdot Q = \sum\limits_{k=0}^{n+m}\left(\sum\limits_{i\in\{0,\ldots,n\},j\in\{0,\ldots,m\},i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^k.$$

Alle Koeffizienten dieses Polynoms hinter dem \((n+m)\)-ten sind \(0\), deshalb genügt es zu zeigen, dass der \((n+m)\)-te Koeffizient nicht \(0\) ist. Der ist einfach nur \(a_{n}b_{m}\), wie du leicht sehen kannst. Wieso kann der nicht \(0\) sein?

Zur Nullteilerfreiheit: Wenn du jeweils \(P,Q\neq 0\) hast, was ist dann \(\mathrm{deg}(PQ)\) mindestens? Was ist \(\mathrm{deg}(0)\)?

b) Das ist genau der springende Punkt. Kannst du aus der Überlegung einen Beweis basteln?

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Das hat sehr geholfen, danke! Hab jetzt alles verstanden und werde es noch aufschreiben

LG :)