Bestimmen Sie diese Ebene.

Question

Hallo! Ich hätte einmal eine Frage zu dieser Aufgabe unten. Und zwar weiß ich schon das die Matrix S eine Spiegelung ist da die determinante -1 ist. Nun ist aber meine Frage, wie kommt man nun auf die Ebenengleichung und den Normalenvektor? Nach langer suche im Internet habe ich darauf leider keine Antwort gefunden und hoffe auf Hilfe!

ii) Zeigen Sie, dass die Matrix S einer Spiegelung entspricht an einer Ebene E mit

0 ∈E. Bestimmen Sie diese Ebene.
Hinweis:
Überlegen Sie sich, worauf S den Normalenvektor dieser Ebene ab-
bildet und stellen Sie ein Gleichungssystem für den Normalenvektor auf.

Als Matrix ist gegeben:

S= 1/9 (1 8 4

           8 1 -4

           4 -4 7)

Answer 1

Wegen \(0\in E\) gilt schon mal \(E:\,n_1x+n_2y+n_3z=0\), wobei die \(n_i\) die Komponenten des Normalenvektors \(\vec{n}\) sind.

Die Spiegelung \(S\) bildet nun den Normalenvektor aufgrund der Orthogonalität zur Ebene auf seinen Gegenvektor ab, so dass man das LGS

\(S\vec{n}=-\vec{n}\)

erhält. Dieses kann man mit den üblichen Verfahren, z.B. Gauß, lösen.

Hinweis: Dieses Gleichungssystem bedeutet, dass wir einen Eigenvektor zum Eigenwert \(-1\) suchen. Wir können daher auch den Kern der Matrix \(S+I\) bestimmen, wobei \(I\) die passende Einheitsmatrix ist.

Answer 2

Hier keine Berechnung über den Normalenvektor sondern direkt über die Spiegelebene.

Die Spiegelebene wird bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet

1/9·[1, 8, 4; 8, 1, -4; 4, -4, 7]·[x; y; z] = [x; y; z] --> x - y - 1/2·z = 0