Transformation in Differentialgleichung erster Ordnung

Question

Aufgabe:

Transformieren Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung

\( x^{\prime \prime}=x-2 x^{3} \)
in eine Differentialgleichung erster Ordnung und zeichnen Sie eine qualitative Studie ihrer Lösungen, wobei insbesondere die Gleichgewichtspunkte, die periodischen, homoklinen und heteroklinen Lösungen bestimmt werden.

Ansatz/Problem::

Ist hier gemeint, die DG in ein System aus Das erster Ordnung zu transformieren (das wäre ja eigentlich nicht so schwierig)? Wie würde ich dann weiter vorgehen?

Answer 1

^Hallo,

^{Wichtig, Du mußt Eure Definitionen in der Vorlesung benutzen, dies ist nur ein möglicher Weg.}

1.Umwandlung in ein DGL -System 1.Ordnung

^Setze:

x= z₁

x'=z₂

\( \begin{aligned} z_{1}^{\prime}= & x^{\prime}=z_{2}, \\ & x^{\prime \prime}=z_{2}^{\prime} \\ \Rightarrow \quad z_{1}^{\prime}= & z_{2} \\ z_{2}^{\prime}= & z_{1}-2 z_{1}^{3}\end{aligned} \)

2. Gleichgewichtspunkte bestimmen , z1' und z2' =0 setzen

_{ich habe erhalten:}

\( (z1, z2)=(0,0),\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \)

_{3. Jacobi Matrix aufstellen:}

\( J=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-6 z_{1}^{2} & 0\end{array}\right) \)

_{4.Gleichgewichtspunkte in die Jacobi Matrix einsetzen}

_{5.Stabilität/Instabilität bestimmen}

_{Gemäß Punkt 2 Ergebnisse von links nach rechts:}

stabil weil ,Eigenwerte auf der imag. Achse

6. Phasenportrait zeichnen (mittels Punkte 2 bis 5)

Wolfram Alpha:

oder:

Comments

5.Stabilität/Instabilität bestimmen

Bei den Eigenwerten der Jacobi-Matrizen bekomme ich im ersten Gleichgewichtspunkt 1 und -1 und für den zweiten und dritten Gleichgewichtspunkt 0 beim Realteil der Eigenwerte heraus. Ich schließe daraus, dass das System in keinem Punkt stabil ist.

Ist das korrekt?

6. Phasenportrait zeichnen (mittels Punkte 2 bis 5)

wie geht das?