Aufgabe:
Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und seien \( W_{1}, W_{2} \subseteq V \) zwei Unterräume. Beweisen Sie, dass \( W_{1} \cup W_{2} \) genau dann ein Unterraum ist, wenn \( W_{1} \subseteq W_{2} \) oder \( W_{2} \subseteq W_{1} \) gilt.
Ansatz/Problem:
Ich würde gerne wissen, ob die Idee für die Richtung "⇒" passt.
Richtung "⇐": Wenn W1 ⊆ W2 gilt, dann ist W1 ∪ W2 = W1, analog wenn W2 ⊆ W1, dann ist W1 ∪ W2 = W2
Und laut Aufgabe sind W1 und W2 ja Unterräume. Also ist dann auch W1 ∪ W2 Unterraum.
Richtung "⇒": W1 ∪ W2 ist ein Unterraum, dann muss gelten:
- W1 und W2 sind jeweils ein Unterraum.
- Es muss für jedes wi aus W1 ∪ W2 die Abgeschlossenheit der Vektoraddition gelten (neben der Existenz der 0 und der Skalarmultiplikation) . Das geht nur, wenn alle wi ∈ W1, ∈ W2 sind, da man sonst w1 und w2 finden kann, sodass
w1 ∈ W1 aber w1 ∉ W1 ∪ W2 bzw. w2 ∈ W2 aber w2 ∉ W1 ∪ W2.
Daher muss W1 ⊆ W2 oder W1 ⊆ W2 gelten.
Ich bin mir sicher, es geht auch kürzer bzw effizienter haha
