Aloha :)
Wir haben hier folgende Information:
1) Die Ebene geht durch den Punkt \(P(4;4;0)\).
2) Die Ebene verläuft parallel zur z-Achse, d.h. ein Richtungsvektor ist \(\vec v=(0;0;1)^T\).
3) Ihr y-Achsenabschnitt beträgt \(y=12\), d.h. der Punkt \(Q(0;12;0)\) liegt in der Ebene.
Da die Punkte \(P\) und \(Q\) in der Ebene liegen, muss auch der Verbindungsvektor der beiden Punkte in der Ebene liegen, wir können ihn daher als zweiten Richtungsvektor nutzen:$$\vec w=\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}0-4\\12-4\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\8\\0\end{pmatrix}$$
Daraus bestimmen wir einen Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene:$$\vec n=\vec v\times\vec w=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}$$
Mit dem Punkt \(Q(0;12;0)\) führt uns das auf folgende Normalengleichung:$$\vec n\times \vec x=\vec n\times\vec q\implies\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\12\\10\end{pmatrix}\implies-8x-4y=-48$$
Wir dividieren noch beide Seiten druch \((-4)\) und erhalten als Koordinatengleichung für die Ebene:$$E\colon2x+y=12$$
