Zeigen Sie, dass der Verlauf der Kurve fur a > 0 konvex ist bei f(x) = a*cosh(x/a)

Question

bei dieser Aufgabe bin ich mir über mein Ergebnis nicht ganz sicher.

Erstmal der Volle Aufgabentext:
Der Verlauf eine Seils kann für x ∈ [-c,c] mit c ∈ ℝ durch die Funktion f(x) = a*cosh(x/a) dargestellt werden.

a) Zeigen Sie, dass der Verlauf der Kurve für a > 0 konvex ist.

$$f(x)\quad =\quad a*cosh(x/a)\\ f'(x)\quad =\quad sinh(x/a)\\ 1.\quad f'(x)\quad !=\quad 0\quad ->\quad sinh(x/a)\quad =\quad 0\\ x/a\quad =\quad 0\quad ->\quad x\quad =\quad a\\ \\ f''(x)\quad =\quad \frac { cosh(x/a) }{ 3 } \\ 2.\quad f''(x)\quad \neq \quad 0\quad (oder\quad bei\quad f''(x)\quad =\quad 0,\quad 3.\quad Ableitung):\\ f''(a)\quad =\quad \frac { cosh(a/a) }{ 3 } \quad =\quad \frac { cosh(1) }{ 3 } =0,5144\\ 0,5144\quad >\quad 0\quad ->\quad konvex$$

ist dies sowit korrekt?

b) Überprüfen Sie due Funktion auf Extremwerte.

Wie man bei a) sehen kann, befindet sich die Extremstelle immer bei f'(x) = 0 -> x = a, also bei a.

Comments

Ich habe grad einen Fehler festgestellt.

Hier ist die Berichtigung ab f ' ' (x):

$$f''(x)\quad =\quad \frac { cosh(x/a) }{ a } \\ 2.\quad f''(x)\quad \neq \quad 0\quad (oder\quad bei\quad f''(x)\quad =\quad 0,\quad 3.\quad Ableitung):\\ f''(a)\quad =\quad \frac { cosh(a/a) }{ a } \quad =\quad \frac { cosh(1) }{ a } \\ a\quad =\quad cosh(1)\quad ->\quad a\quad =\quad 1.5431\\ f''(a)\quad >\quad 0\quad ->\quad konvex$$

Answer 1

a) Unter Punkt 1 ist leider ein Fehler x/a = 0 -> x = 0*a = 0

Eine Funktion ist konvex, wenn ihre 2. Ableitung nicht negativ wird.

f"(x) = cosh(x/a)/a, da a > 0 ist und der cosh generell immer positive Funktionswerte liefert (y > 0), ist f"(x) > 0, also konvex

b) Es gibt nur ein Minimum bei (0;a)

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Ach verdammt.. Ich hätte den Schritt genauso berechnen sollen. Vielen Dank :)

Answer 2

ist dies sowit korrekt?

Leider nein.

1) Aus x / a = 0 folgt nicht x = a , sondern x = 0

Damit ergibt sich:

f ' ' ( x = 0 ) = cosh ( 0 / a ) / a  = 1 / a

Für a > 0 gilt 1 / a > 0 ,

also:  f ( x ) konvex.

Comments

Hmm wie genau kommt denn aus

x/a = 0 -> x = 0 raus? Ich kann ja mit a multiplizieren. Wieso löst sich denn das a auf?

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x / a = 0

Multiplikation mit a:

<=> x = a * 0

<=> x = 0

 

Oder auch mit dem Satz:

Ein definierter Bruch (also ein Bruch mit einem von Null verschiedenen Nenner) hat dann und nur dann den Wert Null, wenn sein Zähler den Wert Null hat.

Damit kann man vorliegend sofort ablesen:

x / a = 0 <=> x = 0

(Der von Null verschiedene Nenner ist vorliegend durch die Voraussetzung a > 0 gewährleistet.)

Answer 3

hier meine Variante der Berechnung

cosh ( x ) = 1/2 * ( e^x + e^{-x} )

Die Abieitungen lassen sich recht leicht bilden und
es bleibt übersichtlicher ( jedenfalls für mich ).

Es ergibt : für a > 0 ist die 2.Ableitung positiv ( konvex ).
Der Extrempunkt ist bei x = 0.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg