Der Zylinder mit einbeschriebenem Kegel ist bis an den Rand mit Wasser gefüllt Bis zu welcher Höhe steht das Wasser …

Question

Aufgabe:

Ein Hohlzylinder besitzt einen Grundkreisinnendurchmesser von d = 15 cm. Diesem Zylinder ist ein (schiefer) Kegel mit gleichem Grundkreisdurchmesser d gemäss Skizze einbeschrieben. Die Länge der Mantellinie S₁ des Kegels beträgt 21 cm, diejenige von S₂ beträgt 16 cm. Der Zylinder mit einbeschriebenem Kegel ist bis an den Rand mit Wasser gefüllt Bis zu welcher Höhe steht das Wasser im Zylinder, wenn der Kegel entfernt wird?

Problem/Ansatz:

Stereometrie, Körper in Körper

Comments

Kommt die Skizze von Dir oder ist es das Original aus der Aufgabe?

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Die Skizze ist Aus der Aufgabe

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Dein Problem, deine Überlegungen?

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Keine grosse Ahnung über das Wasser-Volumen
Allg. Volumen beiden Körpers berechnen. Aber die Höhe des Kegels ist unbekannt. Höhe des Zylinders ist auch unbekannt. Es hat mit Kreis zu tun.
Und weiter weiss ich nicht. Darum habe ich Sie um Hilfe gebeten.
Würden Sie mir helfen? Dafür wäre ich Ihnen sehr dankbar

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Wenn der eingezeichnete rechte Winkel ein rechter Winkel ist, dann ist die Kegelspitze am falschen Ort gezeichnet. Oder der Höhenfußpunkt.

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Die Höhe h des Kegels kannst aus dem rechtwinkligen Dreieck zwischen der Mantellinie S1, der Höhe h, und dem Radius r ermitteln. (Pythagoras)

Answer 1

Es ist klar, dass zunächst die Höhe des Kegels zu berechnen ist. Da alle Kegel gleicher Höhe über der gleichen Grundfläche das gleiche Volumen haben, wählt man die Lage der Höhe so, dass diese Skizze zutrifft:

Answer 2

Die Zeichnung dient dir zur Lösung der Aufgabe:

Comments

Berechnung der Kegelhöhe (Zylinderhöhe):

Kreis um A\((-7,5|0)\) und \(r=16\):

A)  \((x+7,5)^2+y^2=256\)

Kreis um B\((7,5|0)\) und \(r=21\):

B)   \((x-7,5)^2+y^2=441\)

B)-A):

\((x-7,5)^2-(x+7,5)^2=185\)

\(x=-\frac{185}{30}\)

Einsetzen in A): \((-\frac{185}{30}+7,5)^2+y^2=256\)

\(y=\frac{1}{3}\sqrt{2288}\)

Die Körperhöhe ist \(\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2288}\)cm

Zylindervolumen:

\(V_Z=21^2\cdot π\cdot \frac{1}{3}\cdot \sqrt{2288}\)  cm^3

Kegelvolumen:

\(V_K=\frac{1}{3}\cdot 21^2\cdot π\cdot \frac{1}{3}\cdot \sqrt{2288}\)  cm^3

\(V_K=\frac{1}{9}\cdot 441\cdot π\cdot \sqrt{2288}\)  cm^3

\(V_K=49\cdot π\cdot \sqrt{2288}\)  cm^3

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Schönen Dank Moliets

Aber das Thema "Kreis - Gleichungen" ist noch nicht aktuel bei uns.

Eher Trigonometrie im Moment

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Und nach Ihre Berechnungen ist die Höhe des Kegels und Zylinders gleich ...

Answer 3

x^2 + h^2 = 21^2
(15 - x)^2 + h^2 = 16^2 --> h = 4/3·√143

Wenn der Kegel mit Wasser gefüllt ist, dann:

Da das Volumen des Kegels 1/3 der des Zylinders ist, steht das Wasser im Zylinder nur 1/3 so hoch.

1/3·4/3·√143 = 4/9·√143 ≈ 5.315 cm

Wenn das Volumen zwischen Zylinder und Kegel mit Wasser gefüllt ist (wobei hier "bis zum Rand" nicht wirklich einen Sinn ergibt), dann:

2/3·4/3·√143 = 8/9·√143 ≈ 10.63 cm

Comments

Da das Volumen des Kegels 1/3 der des Zylinders ist steht das Wasser im Zylinder nur 1/3 so hoch.

Eine Banane minus ein Drittel Banane ist gleich zwei Drittel Banane.

Bei Zylindern ist es sehr ähnlich.

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Du gehst wohl davon aus, dass nicht der Kegel gefüllt ist, sondern das Volumen zwischen Zylinder und Kegel.

Ja, vermutlich ist da die Aufgabenstellung in der Hinsicht etwas schwammig formuliert.

Ich denke, der einbeschriebene Kegel ist mit Wasser gefüllt. Ansonsten macht das "bis zum Rand" meiner Meinung nach keinen Sinn.

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Ja. Wenn in der Aufgabe steht, der Zylinder sei gefüllt, dann gehe ich davon aus, der Zylinder sei gefüllt und nicht der Kegel.

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Ich habe meine Antwort mit einer Fallunterscheidung versehen.

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Vielen Dank Der_Mathecoach

Aber was ist x ? Radius eher nicht, oder?

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x ist bei mir die Strecke AS. h ist die Höhe bzw. die Strecke AD.

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Schönen Dank Der_Mathecoach

Sorry, aber wie hast du x berechnet? Da sin ja zwei unbekanten Seiten ...

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von einem Dreieck sind drei Seiten gegeben. Damit kann man die Höhe berechnen.

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Du hast das gleichungssystem

x^2 + h^2 = 21^2
(15 - x)^2 + h^2 = 16^2

Löse erste Gleichung nach h^2 auf und setze es in die zweite Gleichung ein

(15 - x)^2 + (21^2 - x^2) = 16^2

Löse das jetzt nach x auf

x = 41/3

Das setzt du für x in eine Gleichung ein und kannst damit h ausrechnen. Bekommst du das hin? Wenn nicht, frag gerne nochmals nach.

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Vielen herzlichen Dank Der_Mathecoach

Ich habe es eingesehen:

Sie haben das Dreieck (ASD) für Gleichung (1.) x² + h² = 21² und das Dreieck (SBC) für Gleichung (2.) y² + h² = 16² mit y = (d – x) benutzt und mit h = Zylinder – Höhe bezeichnet, wofür Sie ca. 16 cm (hZ = (4/3).143^(1/2)) = 15,944 cm) bekommen haben.

Ich habe in der Zwischenzeit mit dem „cos“ – bzw. „sin“ – Satz bezüglich
Dreiecks (ASD) gerechnet und für die Zylinder – Höhe = h_Z = 21 cm und
für das Dreieck (SBC) die Zylinder – Höhe = h_Z = 16 cm bekommen.
Also 2 – verschiedenen Werten(!) …

Für das gekennzeichnetes „h“ in dem Kegel „Dreieck“ – Skizze (Aufgabe oben), wenn ich es in zwei rechtswinkligen Dreiecken aufteile, bekomme ich auch mit:

1.) Pythagoras: 2 – verschiedenen Werten(!) …

2.) „cos“ / „sin“ – Satz: 2 – verschiedenen Werten(!) …

3.) und als ich das Regel „Höhe eines Dreiecks, wenn alle Seiten gegeben sind, berechnen“ für das Kegel „Dreieck“ angewendet habe, bekam ich: „h“ (Skizze) = 15,944 cm (!)

So, es ist sehr verwirrend für mich:

welcher Wert gehört zur Zylinder – Höhe = „hZ“  und

welcher Wert gehört zur Kegel – Höhe = „hK“  ???

Und zu welchem Körper (Zylinder oder Kegel) gehört das „h“ in dem Kegel „Dreieck“, das im Bild / Skizze der Aufgabe gekennzeichnet ist?
Ihre Antwort wüste ich sehr zu schätzen und freu mich darauf.
Schöne Grüsse

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Die Höhen von Kegel und Zylinder sind identisch.

Wenn du verschiedene Werte herausbekommst, deutet das auf einen Rechenfehler deinerseits hin. Dieser lässt sich ohne deine konkrete Rechnung aber auch nicht erläutern.

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Du solltest in meiner Skizze sehen, dass sowohl Kegel als auch Zylinder die gleiche Höhe haben.

Würde ich in das Dreieck CDS noch die Hohe zur Grundseite CD einzeichnen, wäre diese Strecke parallel zu AD oder BC.

Um ein Dreieck eindeutig zu berechnen brauchst du mind 3 Angaben. Du kennst im Dreiecke ASD aber nur den rechten Winkel und eine Länge von 21 cm. Dann kannst du nichts weiter berechnen.

Im Dreieck CDS kennst du alle 3 Seiten und kannst damit dann auch alles andere an diesem Dreieck berechnen. inkl. den Höhen.

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Hier meine Cos- Sin - Rechnung

Text erkannt:

Hinweis: auch bei einem schiefen Kegel berechnet sich das Volumen \( V_{K}=\frac{G \cdot h}{3}=>\operatorname{Cos}- \) Satz Hier \( { }^{\circ} \) Dreieck: \( A B C " \) \( s_{1}=s_{2}+d-2 \cdot s_{2} \cdot d \cdot \cos (\alpha) \)
\( s_{1}-s_{2}-d=-2 s_{2} \cdot d \cdot \cos (\alpha) \)
\( \cos (\alpha)=\frac{-\left(s_{1}-s_{2}-\alpha\right)}{2 \cdot s_{2} \cdot d} \)
\( \cos (\alpha)=\frac{-(21-16-15)}{2 \cdot 16 \cdot 15}=\alpha=\cos ^{-1}\left(\frac{10}{480}\right)=88,806^{\circ} \)
\( \delta=90^{\circ}-\alpha \Rightarrow \delta=1,94^{\circ} \) \( S_{2}=s_{1}+d-2 \cdot s_{1} \cdot d \cdot \cos (\beta) \Rightarrow \cos (\beta)=\frac{-\left(s_{2}-s_{1}-d\right)}{2 \cdot s_{1} \cdot d} \) \( h_{z}=\frac{s_{1}}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \cdot \sin (\Omega) \) \( \cos (\beta)=\frac{-(16-21-15)}{2 \cdot 21 \cdot 15} \quad \beta \quad \cos ^{-1}\left(\frac{20}{630}\right)=88,181^{\circ} \) \( h_{z}=\frac{21}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \cdot \sin \left(88,181^{\circ}\right) \Rightarrow h_{z}=21[\mathrm{~cm}], \Theta\left\{\begin{array}{l}\gamma_{1}=90^{\circ}-\alpha=1,94^{\circ} \\ \gamma_{2}=90^{\circ}-\beta=1,82^{\circ}\end{array}\right\} \gamma=3,76^{\circ} \)
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Text erkannt:

Hinweis: auch bei einem schiefen Kegel berechnet sich
\( \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{h_{z}}{\sin (\Omega)}=\frac{s_{1}}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \\ \Rightarrow h_{z}=\frac{s_{1}}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \cdot \sin (\Omega) \end{array} \\ \cos (\beta)=\frac{-(16-21-15)}{2 \cdot 21 \cdot 15} \\ \varepsilon=90^{\circ}-\beta \Rightarrow \varepsilon=1,819^{\circ} \\ \Rightarrow h_{z}=\frac{21}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \cdot \sin \left(88,181^{\circ}\right) \Rightarrow h_{z} \approx 21 \mathrm{~cm} \\ \triangle A C E " \Rightarrow \text { "Sin-\$atz": } \\ \frac{h_{2}}{\sin (\varphi)}=\frac{s_{2}}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \Rightarrow h_{2}=\frac{16}{\sin \left(90^{\circ}\right)} \cdot \sin \left(88,806^{\circ}\right) \\ \Rightarrow h_{2} \approx 16 \mathrm{~cm} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \delta=90^{\circ}-\alpha \Rightarrow \delta=1,194^{\circ} \Leftrightarrow \varphi=90^{\circ}-\delta \Rightarrow \varphi=88,806^{\circ} \\ s_{2}=s_{1}+\alpha-2 \cdot s_{1} \cdot d \cdot \cos (\beta) \Rightarrow \cos (\beta)=-\left(s_{2}-s_{1}-\alpha\right) \end{array} \)
\( \oplus\left\{\begin{array}{l}\gamma \\ \gamma \\ \gamma\end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} \gamma_{1}=90^{\circ}-\alpha=1,194^{\circ} \\ \gamma_{2}=90^{\circ}-\beta=1,819^{\circ} \end{array}\right\} \gamma=3,013^{\circ} \)
\( \Rightarrow \delta=\gamma_{1} \& \varepsilon=\gamma_{2} \)

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\( \Rightarrow \alpha=\varphi \& \quad \beta=\Omega \)