Kugel mit einbeschriebenem Kegel und Zylinder mit angesetzter Halbkugel

Question

Aufgabe:

Teil A:
In eine Kugel mit dem Durchmesser 1 m soll ein Kegel einbeschrieben werden. Welches maximale Volumen kann ein derartiger Kegel besitzen?

Teil B:
Ein Gefäß besteht aus einem oben geschlossenen Zylinder mit unten angesetzter Halbkugel. Bestimmen Sie jeweils den Radius und die Höhe für die Fälle:

a) Der Rauminhalt soll bei vorgegebener Oberfläche O=100cm2 maximal werden.

b) Die Oberfläche soll bei vorgegebenem Volumen V= 1l minimal werden.

Problem/Ansatz:

Comments

Was hast Du denn für Zielfunktionen (Kegelvolumen, Gefäßvolumen, Gefäßoberfläche)?

Answer 1

A)

\(\displaystyle \max \left[ \frac{1}{3} \pi\left({\sqrt{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}+h\right)^{2}}}\right)^{2} h \right ] =\frac{4}{81}\pi \quad\quad h=\frac{2}{3} \)

Comments

Vielen Dank für Ihre Mühe,

ich möchte wissen woher Sie h haben h ist nicht gegeben ?

und für was ist 1/4 ?

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h ist die Höhe des Kegels ist die unabhängige Variable der Zielfunktion. Das Kegelvolumen, in den eckigen Klammern, ist die abhängige Variable.

1/4 ist der Radius der Kugel (und des abgebildeten Kreises) im Quadrat.

Der Wurzelausdruck ist der y-Wert der Kegelgrundfläche, also deren Radius, aufgrund der Kreisgleichung.

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Das heißt welche wert soll ich für h nehmen?

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Derjenige, bei dem das Kegelvolumen maximal wird. Ich habe ihn bei meiner Lösung hingeschrieben.

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Sie haben h unter Wurzel geschrieben was soll ich in Taschenrechner geben damit ich 4/81*pi raus bekommen

und wenn ich 4/81*pi Taschenrechner gebe bekomme ich 2/3 nicht sondern 0,155 raus

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was soll ich in Taschenrechner geben damit ich 4/81*pi raus bekommen

Du sollst die Zielfunktion (das in den eckigen Klammern) maximieren. Darum steht "max" davor.

wenn ich 4/81*pi Taschenrechner gebe bekomme ich 2/3 nicht sondern 0,155 raus

Das eine ist das Kegelvolumen. Das andere ist die Kegelhöhe. Setze h = 2/3 dort ein wo bei der Zielfunktion h steht, und Du erhältst das maximale Volumen 4/81 Pi.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe

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B)          Einheiten cm und ml (= cm^3)

Oberfläche:

halbe Kugel + Zylindermantel + Kreisfläche oben

O = 2 pi r^2 + 2 pi r h + pi r^2

Volumen:

halbe Kugel + Zylinder

V = 2/3 pi r^3 + pi r^2 h

a) max V s.t. O = 100 

⇒ h = r = \(2 \sqrt{5 / \pi} \)

b) min O s.t. V = 1000

⇒ h = r = \(2\cdot 5 ^{2/3}\cdot (3 / \pi)^{1/3} \)

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Guten Tag,

tut mir leid, ich habe bei Teil A immer noch nicht verstanden wie Sie auf 2/3 gekommen sind.?

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Und bei Teil B

können Sie bei a und b noch ein bisschen erklären? Die Sache ist ich muss 15 min Präsentation machen und die alle Schritte erklären .

Danke für Ihre Verständnis

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habe bei Teil A immer noch nicht verstanden wie Sie auf 2/3 gekommen sind

Bei h = 2/3 ist das Volumen des Kegels maximal.

noch ein bisschen erklären? ... ich muss 15 min Präsentation machen und die alle Schritte erklären .

Falls Du noch konkrete Fragen dazu hast, werde ich gerne versuchen die zu lösen; "noch ein bisschen erklären" ist schwierig, konkret ist besser.

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Ich meine Teil B a und b

fehlen hat viel zwischen Schritten oder? Muss man nach h Umstellen und r ?

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Du sollst die angegebene Funktion unter der angegebenen Nebenbedingung bei a) maximieren und bei b) minimieren.

Die Funktion ist bei a) V(h, r) = ... und bei b) O(h, r) = ... Die Nebenbedingung ist das, was rechts von "s.t." steht.

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Was war noch s.t.?

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"subject to" / "unter den Nebenbedingungen"

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Ich habe oft versucht ich bekomme bei a und a andere  Ergebnis  :(

Ich schreibe so O= Volumen + Flächeninhalt und stelle nach h und r  um.

Egal vielen Dank für Ihre Hilfe

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ich bekomme bei a und a andere Ergebnis

Was für eines denn, und mit welchem Rechenweg?

Ich schreibe so O= Volumen + Flächeninhalt und stelle nach h und r  um.

Das verstehe ich nicht. Wie lautet Dein Rechenweg?

Was für Methoden hat man Euch beigebracht zur Optimierung ohne (Aufgabe A) und mit (Aufgabe B) Nebenbedingungen?

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Wir haben noch nicht angefangen

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... was meine Fragen nach dem Rechenweg nicht beantwortet.

Aber wieso sollst Du ein Referat über das Thema halten, wenn es nicht unterrichtet worden ist?

Ableitung gleich null setzen und so sagt Dir nichts?

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Du meinst die Ableitungen wie bei e-Funktion und kurvendiskussion u.s.w wenn ja dann ha.

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u.s.w wenn ja dann ha

ich verstehe diesen Satz nicht. Meine Fragen waren das, was oben jeweils links von den Fragezeichen steht... Mit Exponentialfunktionen hat die Aufgabe auch nichts zu tun. Bei einer Exponentialfunktion steht das Argument im Exponenten, darum heißt sie so.

Bei B.a) kannst Du z.B. die Nebenbedingung

O = 2 π r^2 + 2 π r h + π r^2 = 100

umstellen nach

h = (100 - 3 π r^2) / (2 π r)

und das eingesetzt in die Zielfunktion

V = 2/3 π r^3 + π r^2 h

ergibt

V =  50 r - 5/6 π r^3

Da Du das maximale Volumen finden willst, setzt Du die Ableitung von V nach r gleich null:

50 - 15/6 π r^2 = 0

⇒  r = 2 \( \sqrt{5 / \pi} \)               (dieselbe Zahl mit negativem Vorzeichen wäre auch eine Lösung der Gleichung darüber, aber r muss ja positiv sein)

Das eingesetzt in

h = (100 - 3 π r^2) / (2 π r)

ergibt h = 2 \( \sqrt{5 / \pi} \)

Einen Taschenrechner braucht man für diese Veranstaltung nicht, der steht doch nur im Weg. Ein adäquates Hilfsmittel wäre hingegen der Verzehr einer veganen Banane. Wenn Dein Vortrag nicht im deutschen Sprachraum stattfindet (schreibe ich, weil Deine Sätze ein bisschen fremd klingen), dann verwende anstatt O (Oberfläche) im Englischen den Variablennamen SA (surface area), im Französischen S (superficie) - oder was immer bei Euch dafür verwendet wird.

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Gut erklärt, vielen Dank

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Gerne geschehen. Du solltest bei den drei Aufgaben selber eine ZIelfunktion finden und dann auf dasselbe Ergebnis kommen können. Sonst hast Du nichts gelernt, sondern Dich für eine Laufbahn im Copyshop qualifiziert. Abgesehen davon, wird auch der Vortrag nur überzeugend sein, wenn Du die Rechnung selber gemacht hast. Das mit der Kreisgleichung bei der ersten Aufgabe solltest Du auch verstanden haben und erklären können. Und wieso ich 1000 ml verwendet habe anstatt 1 Liter.

Es gibt auch andere Lösungswege, aber so wie ich es aufgeschrieben habe, scheint es mir für Deine Situation am nützlichsten zu sein.

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Hallo,

wie bist du nochmal auf die beiden  Ergebnissen  gekommmen?

1.

ergibt

V =  50 r - 5/6 π r3

2. ⇒  r = 2 Wurzel 5/pi

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Wie ich zu den Ergebnissen gekommen bin, habe ich doch aufgeschrieben. Was verstehst Du nicht?

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Ich meine wie bist du auf 50 gekommen? Und 15/6 ?

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Das steht in der Zeile eins drüber:

setzt Du die Ableitung von V nach r gleich null

Verwende dazu die Potenzregel der Ableitung.

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Hey nochmal,

ich habe alles verstanden außer eine Sache. Kannst du mir bitte nochmal aufschreiben wie du bei Teil A h auf 2/3 gekommen ist?

Vielen Dank

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So wie es in der Antwort steht: Volumenformel maximiert und nach h aufgelöst.

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Ich habe auch NB. geschrieben und nach h umgestellt ich bekomme die 2/3 trotzdem nicht. Für die Zielfunktion habe ich NB in HB eingesetzt und bekomme die trotzdem nicht raus:(

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Wie sieht das denn aus bei DIr?

Ich habe bei A) keine Nebenbedingung verwendet. Sondern die Zielfunkton maximiert.

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Aber ohne h kann man nicht maximieren oder?

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Ich verstehe diese Frage nicht. Wenn Du den konkreten Wert von h meinst: Den erhältst Du, wenn Du die Ableitung gleich null setzt und nach h auflöst. Habe ich aber weiter oben geschrieben.

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Ja, das h von B habe ich auch raus aber von Teil A bekomme die 2/3 nicht raus

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Wenn Du hier aufschreibst was Du gerechnet hast, wird Dir jemand helfen können bei der Fehlersuche.

Wenn nicht, dann nicht.

Answer 2

vgl

https://www.mathelounge.de/40187/extremwertaufgabe-einbeschrieben-grosstmogliche-kegelvolumen

B)

V= V(Kugel) +V(Zyl)=  0,5*4/3*r*pi + r^2*pi*h

O = 0,5*r^2*pi +2r*pi*h+ r^2*pi

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Bist Du sicher, dass Deine Oberflächen-Formel stimmt?

Answer 3

Seien \(A\) und \(B\) zwei Punkte auf einem Kreis mit Durchmesser \(d\) und Mittelpunkt \(M\).

Sei \(F\) der Mittelpunkt der Strecke \(AB\).

Sei \(g\) die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\).

Sei \(P\) der Schnittpunkt von \(g\) und Kreis, der auf der gleichen Seite von \(AB\) liegt, wie \(M\).

Das Dreieck \(ABP\) soll der Querschnitt des gesuchten Kegels sein. Für den Radius \(r\) des Kegels und dessen Höhe \(h\) gilt also

(1)        \(r = |AF|\)

(2)        \(h = |FM| + |MP| = |FM| + \frac{d}{2}\)

Es gilt

(3)        \(|AF|^2 + |FM|^2 = |AM|^2\)

laut Pythagoras. Wegen \(|AM| = \frac{d}{2}\) ist also

(4)        \(|AF|^2 + |FM|^2 = \frac{d^2}{4}\).

Aus (2) folgt

(5)        \(|FM| = h-\frac{d}{2}\).

Einsetzen von (1) und (5) in (4) ergibt

  \(r^2 + \left(h-\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{d^2}{4}\).

Verwende diese Beziehung zwischen \(r\) und \(h\) um aus der Formel

        \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)

für das Volumen eines Kegels die Zielfunktion zu basteln.

Comments

Außerdem wollte ich Ihnen fragen ob sie es für mich zeichnen können bitte dann sieht bzw versteht man besser

vielen Dank

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Kann er. Du auch.

Answer 4

Hallo,

zu Aufgabenteil A

Die Formel für das Volumen eines Kegels ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h\)

Um die Variable \(r^2\) zu ersetzen, mache zunächst eine Skizze und betrachte das Dreieck MPB.

R = Radius der Kugel = 0,5, h = Höhe des Kegels, r = Radius der kreisförmigen Kegelgrundfläche

Nach Pythagoras gilt

\(R^2=(h-R)^2+r^2\)

\(R^2-(h-R)^2=r^2\\ \text{Ersetze R durch 0,5}\\ 0,25-(h-0,5)^2=r^2\\ 0,25-(h^2-h+0,25)=r^2\\ 0,25-h^2+h-0,25=r^2\\ h-h^2=r^2\)

Setze die linke Seite der Gleichung in die Volumenformel ein.

\(V=\frac{1}{3}\pi\cdot (h-h^2)\cdot h\\ V=\frac{1}{3}\pi\cdot h^2-\frac{1}{3}\pi\cdot h^3\)

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach h auf.

\(V'=\frac{2}{3}\pi\cdot h-\pi\cdot h^2\\ \frac{2}{3}\pi\cdot h-\pi\cdot h^2=0\\ \pi\cdot h\cdot (\frac{2}{3}-h)=0\\ \frac{2}{3}-h=0\\ \frac{2}{3}=h\)

Gruß, Silvia