Parameter c aus Hoch- und Tiefpunkt der Sinusfunktion?

Question

Aufgabe:

Aus Hoch- und Tiefpunkt soll ich Sinusfunktionen angeben.

a) H(2/3) T(6/-3) b) H(1/9); T(2/1)

Problem/Ansatz:

Die Parameter sind bis auf Parameter C, also der Verschiebung nach links oder rechts sehr einfach für mich.

Wie berechnet man den Parameter C? Also ohne eine Skizze zu zeichnen.

bei den Lösungen wird bei a) für den Parameter C folgendes berechnet:

c = 2- 8/4 = 0  => f(x)= 3sin(pi/4x)

bei b)

c = 1- 2/4 = 0,5. => f(x)= 4sin(pi(x-0,5))+5.

Aber ich kann nur diese beiden Rechnungen nicht nachvollziehen. Was wurde hier gemacht?

Comments

Die Idee, keine Skizze zu zeichnen, finde ich grottenschlecht.

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Danke. Ich habe es mit der Skizze auch gemacht und bekam die selbe Lösung. Jedoch will ich nur die Rechnung für c= 2-8/4 verstehen. Aus der Skizze wird mir der c Wert klar. Aber nicht warum die Autoren es so gerechnet haben. Gibt es eine Formel für c?

Answer 1

Bei a) wurde die Funktion in vertikaler Richtung um den Faktor 3 gestreckt, damit Hoch- und Tiefpunkt nicht mehr den y-Wert 1 und -1 haben sondern 3 und -3, und die Funktion in horizontaler Richtung um den Faktor 4 / Pi gestreckt, damit sie nicht mehr den y-Wert Pi/2 und 3/2 Pi haben, sondern 2 und 6.

Bei b) kannst Du Dir mit demselben Ansatz selber überlegen.

Comments

aber wie wurde bei a) der Parameter c bestimmt? Laut Lösung wurde c = 2- 8/4 = 0 gerechnet. Nur diese Rechnung kann ich nicht nachvollziehen. Woher kommt die -8/4

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Ich habe keine Ahnung, welcher Parameter bei Euch wie genannt wird.

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Also c ist die Verschiebung nach links und rechts. Mit dem Hoch und Tiefpunkt soll ich die Sinusfunktion berechnen und angeben. Die Amplitude, Periode und die Verschiebung nach unten und oben fiel mir sehr leicht. Nur die Verschiebung nach links und rechts, welches bei uns c ist, verstehe ich nicht, wie ich den aus den Punkten bestimmen kann.

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Der Minuend ist die x-Koordinate des Hochpunkts und der Dividend die Periodenlänge.

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der Dividend die Periodenlänge

Das solltest du dir noch mal überlegen.

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Sorry. Du hast Recht, ich war wohl derjenige, der nicht richtig überlegt hat.

Zur vollständigen Klärung vielleicht Folgendes :

Die „normale“ Sinusfunktion g mit g(x) = sin x verläuft durch den Punkt O = (0|0), hat die Amplitude 1 und die Periodenlänge 2π. Die hier vorliegende Funktion f verläuft hingegen durch den entsprechenden Punkt P = (x₀|y₀), hat die Amplitude A und die Periodenlänge L.

Um nun f(x) = y auf g zurückzuführen, müssen die x-Werte von x₀ befreit werden, man wird also x-x₀ zu betrachten haben, anschließend muss die Periodenlänge L herausdividiert und die von g hineindividiert werden, das Argument wird also 2π/L*(x-x₀). Genau dasselbe trifft auch auf die y-Werte zu : zunächst P auf O bringen indem y-y₀ betrachtet wird und dann die Amplitude A herausdividieren und die Amplitude von g (also 1) hineinmultiplizieren führt auf 1/A*(y-y₀) = sin(2π/L*(x-x₀)). Auflösen nach y liefert den gesuchten Funktionsterm y = f(x) = A*sin(2pi/L*(x-x₀))+y₀. Häufig wird der Faktor 2π/L mit k abgekürzt (heißt in der Physik „Wellenzahl“), so dass schließlich y = f(x) = A*sin(k*(x-x₀))+y₀ wird. (Vom Aufgabensteller sind die vier Parameter offenbar mit a,b,c,d bezeichnet worden.)
Sind nun die x-Koordinaten u und v von Hoch- und nachfolgendem Tiefpunkt gegeben, so berechnen sich k und x₀ folgendermaßen : Die Periodenlänge ist L = 2*(v-u) und daher k = π/(v-u). Da die Sinusfunktion g einen Hochpunkt an der Stelle π/2 hat, sollte das Argument k*(x-x₀) der Funktion f den Wert π/2 annehmen, wenn für x die Stelle u eingesetzt wird : k*(u-x₀) = π/2 ergibt 1/(v-u)*(u-x₀) = ½ und damit u-x₀ = (v-u)/2, also x₀ = u - (v-u)/2 = u - L/4