Exponentialfunktion Verdopplungszeit Halbwertszeit

Question

Aufgabe:

Eine Probe des radioaktiven Isotops Actinium 225 zerfällt gemäß dem Gesetz
N(t) = 1000 • e-0,0691 (t: Zeit in Tagen; N(t): Rad. Substanz in mg).
a) Wie groß ist der Anfangsbestand? Wie groß ist der Bestand nach einem Tag? Welcher prozentuale Anteil der Probe zerfällt täglich?
b) Wie groß ist die Halbwertszeit? Eine Probe wird als ausgebrannt betrachtet, wenn die Strahlung auf 1% des Ausgangswerts gefallen ist. Schätzen Sie die Zeit hierfür mit Hilfe der Halbwertszeit ab.

Ich habe die Lösungen bereits und will nachfragen ob sie stimmen :

Anfangsbestand =1000

N(1)= 933,333

Täglich= Verdopplungszeit = -10,05%

b) Halbwertszeit= -23,33

Und t=0,3 wenn 1% gefallen ist

Comments

Dir fehlt ein \(t\).

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Wo genau meinst du

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Im Exponenten.

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Achse danke hab vergessen es hinzuschreiben. Sind meine Lösungen aber richtig ?

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Es fehlt auch ein Exponent.

Und was soll hier "verdoppelt" werden?

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zu a) N(1) = 933.233352... (kann noch gerundet werden)

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zu a):

Täglich= Verdopplungszeit = -10,05%

Ist für mich unverständlich.

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zu b): Das ist falsch. Halbwertszeiten sind nicht negativ.

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Täglich = Verdopplungszeit ist gesucht
N(t) = 1000 •e^-0.069t
N(t)= 2 N(0)

N(t) =1000• e^–0.069t= 2000

Auflösen nach t =-10,05 %

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Nochmals: Was soll hier "verdoppelt" werden?

So ein Isotop zerfällt und tut sich nicht verdoppeln. Darum steht in der Aufgabe "zerfällt" und "Halbwertszeit".

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Hab ich mir auch bei der Halbwertszeit gedacht muss man das dann einfach positiv umschreiben ?

Ich zeig dir mal auch dazu meine Rechnung :

N(t) = 1000 •e^-0.069t=500 , weil 1000:2

Dann nach t aufgelöst

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Was immer Du mit "positiv umschreiben" meinst und bezwecken möchtest: Das Isotop halbiert sich in der Halbwertszeit.

Die Gleichung in der jetzigen Form ist nicht total falsch, es gehören einfach noch Klammern um den Exponenten. Die Lösung muss etwa 10 Tage sein.

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Auflösen nach t =-10,05 %

Tage misst man gewöhnlich nicht in %. Und negative Tage gibt es m W auch nicht.

Täglich = Verdopplungszeit ist gesucht

Etwas, das abnimmt, kann sich nicht gleichzeitg vermehren.

Man könnte berechnen, wann die doppelte Menge vorhanden war.

Dann wäre t negativ:

1000*e^(-0,0691t) = 2000

t = ln2/-0,0691 = -10 Tage = 1 HWZ vorher.

Answer 1

a) N(0) = 1000*e^(0,0691*0) = 1000*e^0 = 1000

N(1) = 1000*e^(-0,0691*1) = 933,23 mg

Zerfall pro Tag: 1- e^(-0,0691) = 0,0668 = 6,68%

b) e^(-0,0691*t) = 0,5

-0,0691t = ln0,5

t= 10,03 Tage, also rund 10 Tage

N(t) = N(0)*0,01 = 10 mg

Nach 10 Tagen sind noch 50%, nach 20 Tagen 25%, nach 30 Tagen 12,5%, nach 40 Tagen

6,25%, nach 50Tagen noch 3,125% nach 60 Tagen noch 1,5625%, nach 70 Tagen noch 0,0078125% vorhanden. Der Wert liegt zw. 60 und 70 Tagen

exakte Rechnung:

1000*e^(-0,0691*t)= 1000*0,01 = 10

e^(-0,0691t) = 0,01

t= 66,65 Tage

Answer 2

Schätzen Sie die Zeit hierfür mit Hilfe der Halbwertszeit ab.

Nach einer Halbwertszeit (10 Tage) noch 50 %.
Nach 2 HWZ noch 25 %.
Nach 3 HWZ noch 12,5 %.
Nach 4 HWZ noch 6,25 %.
Nach 5 HWZ noch 3,125 %.
Nach 6 HWZ noch 1,5625 %.
Nach 7 HWZ noch 0,78 ... %.

Also etwa 65 Tage.

Answer 3

a) 

Wie groß ist der Anfangsbestand?

N(0) = 1000 mg

Wie groß ist der Bestand nach einem Tag?

N(1) = 933.2 mg

Welcher prozentuale Anteil der Probe zerfällt täglich?

e^(- 0.0691·1) - 1 = -0.0668 

Es zerfallen täglich etwa 6.68% der Probe

b) 

Wie groß ist die Halbwertszeit?

e^(- 0.0691·t) = 0.5 --> t = 10.03 Tage

Eine Probe wird als ausgebrannt betrachtet, wenn die Strahlung auf 1% des Ausgangswerts gefallen ist. Schätzen Sie die Zeit hierfür mithilfe der Halbwertszeit ab.

0.01 = 1/100

1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; 1/16 ; 1/32 ; 1/64 ; 1/128

Nach 6-7 Halbwertszeiten, also nach etwa 60-70 Tagen hat man weniger als 1% der Strahlungsleistung.